ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас
261. Нехай ABCD — чотирикутник, вписаний в коло з центром O, O є AD.
∠ACD = 20°, ∠DBC = 10°. ∠ACD = 90° (спирається на діаметр); ∠BCD = 90° + 20°= 110°. ∠ABD = 90° (спирається на діаметр); ∠ABC = 90° + 10° = 110°. Оскільки чотирикутник ABCD — вписаний, то ∠BAFD = 180° - ∠BCD = 180° - 110° = 70°. ∠ADC = 180° - ∠АВС = 180° - 100° = 80°.
Відповідь: 70°, 100°, 110°, 80°.
262. Нехай ABCD — трапеція, вписана в коло з центром O, O є AD.
М — точка перетину діагоналей трапеції і ∠CMD = 70°.
∠ACD = 90° (спирається на діаметр).
Оскільки ABCD — трапеція, що вписана в коло, то вона рівнобедрена (AB = CD). З рівнобедреного △ВМС за теоремою про зовнішній кут маємо ∠ВСМ = ∠СВМ = 70° : 2 = 35°. Отже, ∠BCD = 90° + 35° = 125°, a ∠ADC = 180° - 125° = 55° = ∠BAD.
Відповідь: 55°, 125°, 125°, 55°.
263. Нехай ABC — даний трикутник.
АА1 і СС1 — його висоти, які перетинаються в т. D. Розглянемо чотирикутник A1BC1D: ∠DA1B = ∠BC1D = 90° (оскільки AA1 і CC1 — висоти). Отже, ∠DA1B + ∠BC1D = 180°. З того, що сума кутів будь-якого чотирикутника дорівнює 360° випливає, що ∠С1ВА1 + ∠C1DA1 = 360° - 180° = 180°. Маємо, що в чотирикутнику А1ВС1D суми протилежних кутів дорівнюють 180°, тому навколо A1BC1D можна описати коло і т. А1, В, C1 і D лежать на одному колі.
Нехай ABCD — даний чотирикутник. Бісектриси його кутів перетинаються в точках М, N, К і Р, утворюючи чотирикутник.
265. а) Нехай ABCD — даний ромб, в який вписано коло. M, N, K i P — точки дотику кола до сторін ромба.
За властивістю дотичної ON ⟂ CD, OP ⟂ АВ. Оскільки CD ∥ AB, то PN — їх спільний перпендикуляр. Аналогічно МК — спільний перпендикуляр до ВС і АD. △CON = △АОР за гіпотенузою і гострим кутом; ON = OP = OR.
△OAP і △OAK: ОА — спільна; ОР = ОК = R; ∠ОРА = ∠ОКА = 90°.
△OAP = △OAK за катетом і гіпотенузою; ∠ОАР = ∠ОАК; АО — бісектриса ∠РАК. Отже, центр кола О лежить на діагоналі АС. Аналогічно доводимо, що О належить діагоналі BD. Тому О є точкою перетину діагоналей ромба.
б) Нехай ABCD — дана трапеція, в яку списане коло.
Проведемо ОМ і ON в точки дотику. За властивістю дотичної ОМ ⟂ ВС, ON ⟂ AD. Оскільки ВС ∥ AD, то MN — їх спільний перпендикуляр, тобто MN — висота трапеції. MN = ОМ + ON = 2R. Отже, висота трапеції в 2 рази більша за радіус кола, вписаного в неї.
266. Нехай ABC і ADC - рівнобедрені трикутники зі спільною основою АС.
З того, що △ABC і △АDС — рівнобедрені випливає, що АВ = ВС і AD = DC; АВ + DC = ВС + AD. Оскільки в чотирикутнику ABCD суми протилежних сторін рівні, то в нього можна вписати коло.
267. Якщо в чотирикутник можна вписати коло, то суми його протилежних сторін однакові. Оскільки 4 м + 9 м = 8 м + 5 м, то протилежні сторони чотирикутника 4 м і 9 м та 8 м і 5 м.
269. Нехай ABCD — дана прямокутна трапеція, в яку вписане коло з центром О і R = 3 cм. CD = 10 см.
Оскільки h = 2R, то АВ = h = 2 • 3 = 6 см. Оскільки в трапецію можна вписати коло, то AD + ВС = АВ + CD = 10 + 6 =
270. Нехай ABC — даний трикутник (АВ = ВС), a MN — його середня лінія.
