ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас

Нехай А, В і С — будинки, a MN — прямолінійна траса.

За умовою AM = MB, CN = NB. Проведемо перпендикуляри з точок А, В і С до прямої MN — АН1 і ВН2 і СН3 — вони і є шуканими відстанями. Розглянемо △АН1М і △ВН2М:

1) ∠AH1М = ∠BH2M = 60° за побудовою.

2) AM = MB — за умовою.

3) ∠AMH1 = ∠BMH2 як вертикальні.

△АH1М = △ВН2М за гіпотенузою і гострим кутом; АН1 = ВН2 як відповідні сторони рівних трикутників. Розглянемо △СН3N і △ВН2N:

1) ∠CH3N = ∠BH21N = 90° за побудовою.

2) CN = NB за умовою.

3) ∠CNH3 = ∠BNH2 як вертикальні.

△СН3N = △ВН2N за гіпотенузою і гострим кутом ⇒ СН3 = ВН2 як відповідні сторони рівних трикутників. Отже, маємо АН1 = ВН2 = СН3.

Нехай ABCD — дана трапеція (АВ = CD). М, N, К i P — середини сторін трапеції. NK — середня лінія △ВDС; NK ∥ BD;

МР — середня лінія △ВАD; МР ∥ BD; NK ∥ MP.

MN — серденя лінія △АВС; MN ∥ АС;

РК — середня лінія △АСD; РК = АС; MN ∥ PK.

Оскільки протилежні сторони чотирикутника MNKP попарно паралельні, то MNKP — паралелограм. Розглянемо △MBN і △KCN: MB = СК як половини бічних сторін трапеції. BN = NC за умовою. ∠MBN = ∠KCN як кути при основі рівнобічної трапеції; △MBN = △KCN; MN = NK як відповідні сторони рівних трикутників. Маємо: MNKP — паралелограм з рівними сусідніми сторонами, отже, MNKP — ромб.

Нехай дані точки А, В і С є серединами сторін майбутнього трикутника. Сполучаємо точки А і В і проводимо пряму через С, паралельну АВ. Аналогічно через т. В проводимо пряму, паралельну АС і через т. А проводимо пряму, паралельну ВС. Точки М, N і К перетину цих трьох прямих і є вершинами шуканого трикутника.

194. Нехай ABC — даний трикутник, а MN — його середня лінія.

Якщо відрізати трикутник по прямій MN і прикласти як показано на малюнку, отримаємо

195. Нехай ABCD — дана прямокутна трапеція (ВС ∥ AD)AC = CD = AD = а.

Нехай дано коло з радіусом R і центром О. АВ — його діаметр. Через т. М проведена дотична. Проведемо перпендикуляр з кінців діаметра до дотичної. За умовою AH1 = 14 см, ВН2 = 20 см. За теоремою Фалеса ОМ ∥ АН1 ∥ ВН2 (за властивістю дотичної). АО = ОB = R; H1M = Н2М і ОМ — середня лінія прямокутної трапеції АН1Н2В. Отже,

197. Нехай l — дана пряма, А і В — точки, що лежать по один бік від цієї прямої.

Нехай ABCD — даний паралелограм. М і N — середини ВС і AD. К і L — точки перетину прямих AM і NC за діагоналлю BD. Оскільки МС ∥ AN і МС = AN, то AMCN — паралелограм. Отже, AM ∥ CN. Розглянемо ∠DBC: за теоремою Фалеса паралельні прямі AM і CN відтинають на одній стороні кута рівні відрізки BN і МС, тому і на іншій відтинають теж рівні відрізки ВК і KL. Аналогічно, розглянувши ∠ADB, маємо DL = KL. Отже, BK = KL = DL.

Нехай дано відрізок АВ. Проведемо довільний промінь АС, який не є доповняльним до АВ. На промені АС відкладемо п’ять рівних відрізків AC1 = С1С2 = С2С3 = С3С4 = C4C. Проведемо пряму СВ і через точки С1, С2, С3, С4 прямі, паралельні до СВ. С1В1 ∥ С2В2 ∥ С3B3 ∥ С4В4 ∥ СВ. за теоремою Фалеса AB1 = В1В2 = В2В3 = В3В4 = В4В. Отже, АВ3 : В3В = 3 : 2.