ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас

Нехай ABCD — дана трапеція. Р — середина АС, К — середина BD. Проведемо середню лінію MN. За її властивістю MA = MB,ND = NC i MN ∥ AD ∥ ВС. Отже, за теоремою Фалеса Р і К належать MN; PK ∥ ВС ∥ AD.

Проведемо АН1 ⟂ l, BH2 ⟂ l, М — середина АВ. МН3 ⟂ l. За умовою АН1 = 7 см, ВН2 = 11 см.

Маємо AH1 ∥ ВН2, отже, Н1АН2В — трапеція. За теоремою Фалеса оскільки М — середина АВ і МН3 ∥ АН1 ∥ ВН2, то Н3 — середина Н1Н2. Враховуючи результати задачі 201 (1) маємо:

203. Нехай ABCD — дана рівнобічна трапеція (АВ = CD).

Нехай ABC — даний трикутник, BA1 = А1А2 = ... = Аm-1С і ВС1 = C1C2 = ... = Сm-1С. Якщо через точки А1, A2, ..., Am-1 провести прямі, паралельні АС, то за теоремою Фалеса вони поділять сторону ВС на m рівних відрізків, тобто співпадуть з точками С1, С2, ... Cm-1.

Якщо в трапеції бічні сторони поділити на m рівних частин, то відрізки, які сполучають відповідні точки на бічних сторонах будуть паралельні один одному і паралельні основам. Нехай ABCD — дана трапеція. BB1 = В1В2 = ... = Вm-1В і СС1 = С1С2 = ... = Cm-1D. Якщо через точки В1, В2, ..., Вm-1 провести прямі, паралельні ВС, то за теоремою Фалеса вони поділять сторону CD на m рівних відрізків, тобто співпадуть з точками С1, С2, ..., Сm-1.

в) Твердження, обернене до теореми Фалеса: Якщо прямі відтинають на одній стороні кута рівні відрізки і на другій сторони кута рівні відрізки, то такі прямі паралельні. Дане твердження невірне, оскільки прямі l1 і l2 перетинають сторони кута й на кожній з них відтинають рівні відрізки, але l1 не паралельна l2.

205. Нехай ABC — даний рівносторонній трикутник, який вписано в коло.

BD ∥ АС. Проведено ВН ⟂ АС. Оскільки центр кола описаного навколо трикутника є точкою перетину серединних перпендикулярів, то О є ВН. ВН ⟂ АС, BD ∥ AC; BD ⟂ ВН. Отже, BD проходить через точку кола і перпендикулярна радіусу. Якщо ж BD не дотична, а січна, то ∠HBD ≠ 90°, тому BD є дотичною.

Якщо зовнішній кут трикутника 90°, то суміжний з них дорівнює 180° - 80° = 100°. Оскільки трикутник рівнобедрений, він має два однакових кута, але два тупих кута (100°) в трикутнику бути не може тому кут 100° — кут при вершині рівнобедреного трикутника, а кути при основі дорівнюють по 80° : 2 = 40°.

Відповідь: 40°, 40°, 100°.