ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас

Нехай у ромбі ABCD ВК ⟂ AD, BL ⟂ CD. Доведемо, що ВК = BL.

△АВК = △CBL (за гіпотенузою і гострим кутом: АВ = ВС, ∠А = ∠С). Із рівності трикутників ВК = BL.

Обернене твердження: якщо в паралелограмі висоти рівні, то він є ромбом.

Нехай у паралелограмі ABCD ВК ⟂ CD, BL = ВК, BL ⟂ CD, тоді △АВК = △СВК (за катетом і гострим кутом: ВК = BL, ∠А = ∠С). Із рівності трикутників АВ = ВС. Оскільки в паралелограмі ABCD сусідні сторони рівні (АВ = ВС), то він є ромбом.

Нехай у ромб ABCD т. О — точка перетину діагоналей. ОК ⟂ ВС, ON ⟂ АВ, OM ⟂ AD, OP ⟂ DC.

△ОКС = △ОМА: ∠ОКС = ∠ОМА = 90°; ОС = ОА — за властивістю діагоналей ромба; ∠КСО = ∠MAO — діагоналі є бісектрисами.

Із рівності трикутників випливає, що ОК = ОМ.

Аналогічно: △ONA = △ОРС; АО = ОС. Отже, діагоналі чотирикутника точкою перетину діляться навпіл, тому MNKP — паралелограм, але МК = NP як висоти ромба. Отже, MNKP — паралелограм з рівними діагоналями, тому MNKP — прямокутник.

Нехай у чотирикутнику ABCD ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, тоді △ABC = △ADC.

Із рівності трикутників випливає, що ∠АВС = ∠ADC, ВС = CD, AB = CD.

Оскільки ∠АВС = ∠ADC, то ∠ABD = ∠CBD = ∠ADB = ∠CDB, тоді, враховуючи, що кути ABD і CDB — внутрішні різносторонні при прямих АВ і CD і січній BD і ∠ABD = ∠BDC, маємо АВ ∥ CD. Оскільки кути CBD і ABD — внутрішні різносторонні при прямих ВС і AD та січній BD і ∠CBD = ∠ADB, то ВС ∥ AD. Оскільки АВ ∥ CD, ВС ∥ AD, то ABCD — паралелограм. Враховуючи, що ВО — бісектриса і медіана трикутника ABC, то △АВС — рівнобедрений, отже, АВ = ВС. Оскільки в паралелограмі ABCD сусідні сторони рівні, то ABCD — ромб.

Випливає, що АВ = ВС, AD = CD. Отже, АВ = ВС = CFD = AD; ABCD — ромб.

Нехай ABCD — даний паралелограм. AL; BN; DM; CN — бісектриси відповідних кутів паралелограма. KLMN — отриманий чотирикутник при перетині цих бісектрис. Так як бісектриси сусідніх кутів паралелограма перетинаються під прямими кутами, то маємо, що всі кути даного чотирикутника дорівнюють 90°, тобто KLMN — прямокутник (∠АКВ = ∠LKN = 90° — вертикальні).

135. Hexaй ABCD — прямокутник, BQ, AN, CQ, DN — бісектриси. MNPQ — чотирикутник, який утворився при перетині бісектрис кутів прямокутника ABCD.

Згідно задачі № 63 MNPQ — прямокутник. Доведемо, що MN = NP.

△AND — рівнобедрений, оскільки ∠1 = ∠2 = 45°, тоді AN = ND, але AM = DP, так як △АВМ = △DPC (за стороною і прилеглим кутом). Таким чином, MN = AN - AM = DN - DP = NP. Отже, в прямокутнику MNPQ дві суміжні сторони рівні, таким чином, NMPQ — квадрат.

Нехай у трикутник ABC (АВ = ВС), DE ∥ АС, D є АВ, Е є ВС.

а) Оскільки DE ∥ АС, то ∠BED = ∠ВСА — відповідні, △DBE — рівнобедрений і DB = BE. △АЕВ і △CDB: BE = BD — доведено вище; АВ = ВС за умовою; ∠В — спільний. Отже, △АЕВ = △CDB за двома сторонами і кутом між ними; АЕ = CD.

б) Якщо ∠В = 80°, то ∠BAC - ∠ВСА = (182° - 80°) : 2 = 100° : 2 = 50°, ∠DEC = 180° - ∠АСЕ = 180° - 50° = 130° — внутрішні односторонні.

Відповідь: 50°, 130°, 130°, 50°.

137. Ні, необов’язково, оскільки сторони АВ і CD не обов’язково паралельні.

Наприклад: