ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас
121. а) Нехай ABCD — даний ромб, ВН — його висота.
За умовою ВН = АН. Оскільки △АНВ — прямокутний, то ∠HAB = ∠ABH = (180° - 90°) : 2 = 90° : 2 = 45°, ∠ABC = 180° - ∠HAB = 180° - 45° = 135°.
Відповідь: 45°, 135°.
б) Нехай ABCD — даний ромб, ВН — його висота.
Нехай в ромбі ABCD ∠ABC = 120°, BD = 6 см.
Оскільки ∠ABC = 120°, то ∠BAD = 180° - 120° = 60°. Маємо △BAD — рівнобедрений (AB = AD) з кутом 60°, тому він рівносторонній, АВ = 6 см. РABCD = 4 • АВ = 4 • 6 = 24 см.
Відповідь: 24 см.
Нехай △АВС — рівнобедрений прямокутний, ∠B = 90°, АВ = ВС, MNKL — квадрат зі стороною 2 см, вписаний в цей трикутник.
∠A = ∠C = (180° - 90°) : 2 = 45°.
△AMN: ∠A = 45°, ∠AMN = 90°; ∠ANM = 180° - (90° + 45°) = 45°, △AMN — рівнобедрений, AM = MN = 2 cм. Аналогічно LC = LK = 2 см. AC = AM + ML + LC = 2 + 2 + 2 = 6 см.
Відповідь: 6 см.
Нехай △ABC — рівнобедрений прямокутний, ∠A = 90°, AB = AC = 4 см.
AEFD — квадрат, вписаний в △АВС.
∠C = ∠B = (180° - 90°) : 2 = 45°. У △FCD: ∠C = 45°, ∠FDC = 90°; ∠DFC = 180° - (90° + 45°) = 45°. Отже, △FDC — рівнобедрений (DC = DF). PAEFD = 2(AD + FD) = 2(AD + DC) = 2 • 4 = 8 cм.
Відповідь: 8 см.
Нехай у паралелограмі ABCD AC ⟂ BD. △АОВ = △COD (АО = ОС — за властивістю діагоналі паралелограма; ВО — спільна; ∠AOB = ∠COD = 90° — за умовою). AB = ВС. А якщо в паралелограмі сусідні сторони рівні, то і всі його сторони рівні, тому ABCD — ромб.
Нехай у паралелограмі ABCD ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4. △ABD = △CBD за стороною і двома прилеглими кутами). Із рівності цих трикутників маємо АВ = ВС. Оскільки сусідні сторони паралелограма ABCD рівні, то ABCD — ромб.
Нехай АС і BD — діагоналі чотирикутника ABCD. Ці кути спираються на діаметр. Отже, ABCD — прямокутник.
Нехай у прямокутнику ABCD, де О — середина AC, AL : LD = 2 : 1.
Оскільки точка L належить серединному перпендикуляру KL до відрізка АС, то АL = LC, тоді ∠C : ∠D = 2 : 1. Оскільки △LCD — прямокутний і LC : LD = 2 : 1, то ∠LCD = 30°.
∠CLD = 60, тоді ∠ALC = 180° - ∠CLD = 180° - 60° = 10°,
