ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас

Задачі для підготовки до контрольної роботи № 1

Нехай ABCD — паралелограм. ВН — висота, що проведена з вершини тупого кута. За умовою: ∠НВС = ∠ABN - 20°. Маємо: ∠НВС = ∠NHD = 90°; ∠ABN = 90° - 20° = 70°. ∠BAN = 90° - ∠АВН = 90° - 70° = 20°. ∠АВС = ∠ABN + ∠НВС = 70° + 90° = 160°.

Відповідь: 20°, 20°, 160°; 160°.

3. АМВ = △DNC за першою ознакою рівності трикутників, AM = DN — за умовою; MB = NC — за умовою; ∠АМВ = ∠DNC — як суміжні з рівними кутами. Оскільки △АMВ = △DNC, тоді АВ = DC і ∠МАВ = ∠NDC як відповідні елементи рівних трикутників; АВ ∥ CD. В чотирикутнику ABCD протилежні сторони паралельні і рівні, отже, ABCD — паралелограм.

Нехай ABCD — даний паралелограм, AN — його бісектриса.

За умовою: ∠ANB : ∠ANC = 1 : 3. Нехай ∠BAN = α, тоді ∠NAD = α (AN — бісектриса). ∠BNA = ∠NAD = α (внутрішні різносторонні); а ∠ANC = 3α.

Маємо: ∠BNА + ∠ANC = 180°; α + 3α = 180°; 4α = 180°; α - 45°. ∠BAD = 2α = 2 • 45° = 90°. Оскільки ABCD паралелограм, у якого є прямий кут, то ABCD — прямокутник.

Нехай ABCD — ромб. За властивістю діагоналей ромба BD ⟂ АС, ∠ВАО = ∠DAO. У △АВО: ∠АВО = ∠ОАВ за умовою, отже, ∠АВО = ∠ОАВ = 45°, тоді ∠ВАD = 45° • 2 = 90°.

Отже, у ромбі ∠А = 90°, тоді ABCD — квадрат.

Нехай ABCD — прямокутник. О — точка перетину його діагоналей. ОК ⟂ АС (ОК — серединний перпендикуляр до АС). ВК = АВ за умовою.

△АВС: АВ = ВК; ∠ВАК = ∠ВКА = 90° : 2 = 45°. △АКС — рівнобедрений, так як КО — висота і медіана одночасно; АК = КС і ∠КАС = ∠КСА = 45° : 2 = 22,5° (за теоремою про зовнішній кут трикутника). А кут між діагоналями у 2 рази більший за менший з кутів △АВС.

∠СОD = 2 • 22,5 = 45°.

Відповідь: 45°.