ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 7 клас

711. Нехай у △ABC ∠A = 90°, АD — бісектриса, АН — висота, ∠DAH = 12°. Розглянемо △ADH.

∠ADH = 90° - 12° = 78°.

Розглянемо △BDH: ∠BAD = 90° : 2 = 45°, ∠ADB = 180° - 78° = 102° (за властивістю суміжних кутів).

За теоремою про суму кутів трикутника ∠В = 180° - (45° + 102°) = 33°, ∠С = 90° - 33° = 57°.

712. ∠A = ∠B = 90° : 2 = 45°. За умовою AC = AM, отже, △АСМ — рівнобедрений з основою CM. Тоді ∠ACM = ∠AMC = (180° - 45°) : 2 = 67,5°.

Аналогічно, △СКВ — рівнобедрений з основою СК, тоді ∠СКВ = 67,5°. Оскільки ∠СКМ = ∠СМК, то △СКМ — рівнобедрений з основою KM. ∠КСМ = 180° - (67,5° + 67,5°) = 180° - 135° - 45°.

713. Нехай у △ABC ∠A = 90°, АH — висота. Позначимо ∠В = β, тоді ∠С = 90° - β. Розглянемо △АНВ — прямокутний. За теоремою про суму кутів трикутника ∠ВАН = 90° - β. Розглянемо △АНС — прямокутний. ∠САН = 90° - (90° - β) = 90° - 90° + β = β. Отже, усі трикутники мають відповідно рівні гострі кути.

714. Прямокутні трикутники АВМ і DEK рівні за катетом і гострим кутом. У рівних трикутників відповідні сторони рівні. Тоді АВ = DE і △АВС = △DEF за стороною і прилеглими кутами.

715. ∠АОК = ∠МОС — як вертикальні, тоді △АКМ = △СМО за катетом і гострим кутом. Тоді АК = МС. Розглянемо прямокутні трикутники АКС і CMА. АС — спільна гіпотенуза, АК = МС, △АКС = △СМА за гіпотенузою і катетом.

∠МАВ = ∠КСА, ∠МАС = ∠ВАМ, тому AM — бісектриса трикутника і одночасно висота за умовою. Тоді △АВС — рівнобедрений з основою ВС, АВ = АС. З рівності △АКС = △СМА, AM = КС. Якщо висоти трикутника рівні, то вони проведені до бічних сторін рівнобедреного трикутника. Отже, △АВС також рівнобедрений з основою AC. АВ = ВС. Звідси АВ = ВС = АС і △АВС — рівносторонній.

716. 1) Нехай у △АВС АВ = ВС, АЕ і BD — висоти, О — точка їх перетину, ∠AOB = 100°. За властивістю суміжних кутів ∠BOE = 180° - 100° = 80°.

Розглянемо △ОВЕ — прямокутний. За теоремою про суму кутів трикутника ∠ЕВО = 90° - 80° = 10°. BD — бісектриса за властивістю рівнобедреного трикутника, тоді ∠B = 20°, ∠A = ∠C = (180° - 20°) : 2 = 80°.

2) Нехай АЕ і CF — висоти, проведені до бічних сторін, О — точка їх перетину, ∠FOE = 100°. За властивістю суміжних кутів ∠AOF = 180° - 100° = 80°.

△AFO — прямокутний. За теоремою про суму кутів трикутника ∠FAO = 90° - 80° = 10°. Розглянемо △АВЕ — прямокутний, ∠B = 90° - 10° = 80°,

717. Нехай ∠HCD = ∠BCD = α. Розглянемо △СНD — прямокутний, ∠HDC = 90° - α. Розглянемо △НСА —

прямокутний, ∠ACH = 90° - 2α, ∠CAH = 90° - (90° - 2α) = 2α, ∠ACD = 90° - 2α + α = 90° - α, отже, ∠HDC = ∠ACD, тоді △АСD — рівнобедрений з основою CD. Тоді АС = AD, що й треба було довести.

718. 1) ∠A > ∠B (точка Н ближче до точки А). Трикутник гострокутний. Нехай у △АВС АВ = ВС, CD — бісектриса, СН — висота, ∠DCH = 15°, ∠ACD = ∠BCD = α, тоді ∠A = 2α. Розглянемо △НАС.

∠АНС = 90°, ∠C = α - 15°, ∠A = 90° - (α - 15°) = 105° - α. Маємо рівняння: 2α = 105 - α; 2α + α = 105; 3α = 105; α = 35°, тоді ∠A = ∠C = 70°, ∠B = 180° - 70° • 2 = 40°.

2) Якщо ∠A < ∠B, то точка Н знаходиться ближче до точки В. Трикутник гострокутний. ∠ACD = ∠DCB = α, ∠A = ∠C = 2α. Розглянемо △АDС:

∠A = 180° - 105° - α = 75° - α. Маємо рівняння: 2α = 75 - α; 3α = 75; α = 25, тоді ∠A = ∠C = 50°, ∠B = 80°.

3) Розглянемо випадок, коли трикутник тупокутний. Тоді висота проектується на продовження бічної сторони. ∠BCD = ∠DCA = α, ∠A = ∠C = 2α, ∠HCB = 15° - α, ∠B = 90° - 15° - α = 75° - α.

∠CBA = 180° - 75° + α = 105° + α,

75° - α = 4α; 5α = 75°; α = 15°; ∠A = ∠C = 30°; ∠B = 120°.

Відповідь: задача має три розв’язки: 1) 70°, 70°, 40°; 2) 50°, 50°, 80°; 3) 30°, 30°, 120°.

719. Нехай ∠A = α, тоді ∠B = 90° - α, ∠DAC = 180° - α, ∠CBE = 180° - (90° - α) = 90° + α (за властивістю суміжних кутів).

△DAC — рівнобедрений з основою DC,

720. Проведемо MD ∥ АВ.

∠B = ∠MDC = 60° — відповідні при MD ∥ АВ і січній ВС, ∠C = 60°, △MDC — рівносторонній. D — середина ВС, МК — висота, а отже, і медіана, DC = 6 см, тоді ВС = 12 см, Р = 12 • 3 = 36 см.