ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 7 клас

721. Нехай у △АВС ∠A = 90°, ∠C = 60°, ∠B = 30°. Катет, що лежить проти кута 30° дорівнює половині гіпотенузи. Позначимо АС = а, тоді ВС = 2а. За умовою а + 2а = 27; 3а = 27; a = 9 см, АС = 9 см, ВС = 18 см.

722. Розглянемо △МВС, ∠MBC = 90° - 30° = 60°. Катет, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи, MB = 22 см. Розглянемо △АВС, ∠B = 90° - 15° = 75° (за теоремою про суму кутів трикутника). ∠MBA = 75° - 60° = 15°, тоді △АМВ — рівнобедрений з основою АВ, АМ = MB = 22 см.

723. Розглянемо △АВС, ∠A = 90° - 30° = 60°, АВ = АС • 2, АВ = 24 см (катет, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи). Розглянемо △ADC: ∠DCA = 90° - 60° = 30°. Катет, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи.

724. Нехай △АВС — рівносторонній трикутник, АЕ — медіана, а, отже, бісектриса і висота, CD — медіана, бісектриса і висота, О — точка їх перетину.

Розглянемо прямокутний трикутник △ОЕС, ∠OEC = 90°, ∠ECO = 60° : 2 = 30°, тоді ∠EOC = 90° - 30° = 60°.

725. У △АВС АВ = ВС, ВО — медіана, бісектриса, висота, отже, ∠AОВ = 90°.

726. Розглянемо прямокутні трикутники ЕОС і BOD. ОС = OD — радіуси кола, СЕ = BD за умовою. Трикутники рівні за гіпотенузою і катетом. У рівних трикутників відповідні сторони рівні.

Отже, ЕО = OF.

727. За властивістю хорд АО ⟂ МК, РО ⟂ NP. Розглянемо прямокутні трикутники АОМ і BON. AM = NP (за умовою), ON = ОМ — радіуси. Трикутники рівні за гіпотенузою і катетом. Звідси АО = ВО, △АВО — рівнобедрений, ∠OAB = ∠ОВА — кути при основі.

728. △АВО — рівносторонній, ∠АBО = 60°. △ОВС — рівносторонній, ∠ОВС = 60°. ∠ABC = 60° + 60° = 120°.

729. Дано коло з центром О, АВ — діаметр, AD і BE — дотичні. Оскільки дотична перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику, то DA ⟂ AO, BE ⟂ ОВ. Дві прямі, перпендикулярні третій, між собою паралельні.

Отже, AD ∥ BE.

730. Якщо діаметр ділить хорду навпіл, то він перпендикулярний хорді, тоді AB ⟂ MN, AB ⟂ KP. Дві прямі, перпендикулярні третій, між собою паралельні. Отже, MN ∥ РК.