ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 7 клас

701. Розглянемо △АВО, АВ = АО за теоремою про зовнішній кут трикутника ∠АBО = ∠АОВ = 160° : 2 = 80°. За властивістю суміжних кутів ∠ВОС = 180° - 80° = 100°. За теоремою про суму кутів трикутника ∠ОВС = 180 - (∠ВОС + ∠С) = 180° - (40° + 100°) = 40°. ∠ОВС = ∠С, отже △ОВС рівнобедрений з основою ВС.

702. △ВСК — рівнобедрений. ∠АСВ — його зовнішній кут, отже ∠К + ∠СВК = 80°; ∠К = ∠СВК = 80° : 2 = 40°.

△АМВ — рівнобедрений, ∠ВАС — його зовнішній кут. За теоремою про суму кутів △BAC = 180° - (60° + 80°) = 40°;

ABM = ∠M = 40° : 2 = 20°.

МВК = 40° + 60° + 20° = 120°.

703. МК ∥ АС, січна ВС. ∠МКВ = ∠АСВ = 45° — як відповідні. За теоремою про суму кутів трикутника ∠ВАС = 180° - (∠В + ∠С) = 180° - 110° = 70°;

∠ВМК = ∠ВАС — як відповідні для АС ∥ МК і січної АВ.

△AKM — рівнобедрений, ∠ВМК — його зовнішній кут, тоді ∠МАК = ∠МКА = 70° : 2 = 35°.

∠КАС = ∠ВАС - ∠МАК = 70° - 35° = 35°.

704. Нехай CD — бісектриса трикутника. СН — його висота. За теоремою про суму кутів трикутника ∠АСВ = 180° - (55° + 75°) = 50°. Тоді ∠BCD = 50° : 2 = 25°. △СНВ — прямокутний. Тоді ∠ВСН = 90° - 75° = 15°.

∠DCH = ∠BCD - ∠ВСН = 25° - 15° = 10°.

705. Розглянемо прямокутний △АНК. ∠АНВ = 128° — його зовнішній кут, отже ∠НАК = 128° - 90° = 38°.

Розглянемо △ADC - прямокутний. За теоремою про суму кутів трикутника ∠С = 90° - 38° = 52°.

∠ВАС = ∠С = 52° (кути при основі рівнобедреного трикутника). За теоремою про суму кутів трикутника ∠АВС = 180° - 52° • 2 = 180° - 104° = 76°.

706. △МНС — прямокутний.

∠АНС = 140° — його зовнішній кут, тоді ∠МАН = 140° - 90° = 50°.

△АВD — прямокутний. За теоремою про суму кутів трикутника ∠B = 90° - ∠BAD = 90° - 50° = 40°.

△АВС — рівнобедрений. ∠A = ∠C = (180° - 40°) : 2 = 70°.

707. Нехай у △АВС ∠A = 90°, ∠B = 42°, тоді ∠С = 90° - 42 = 48°. AD — бісектриса, тоді ∠DAC = ∠BAD = 45°.

Розглянемо △АDС. За теоремою про суму кутів трикутника ∠ADC = 180° - (45° + 48°) = 180° - 93° = 87° — менший із утворених кутів.

708. Розглянемо △CEF і △DFE. За умовою CF = DE, ∠CEF = ∠DFE = 90°.

Трикутники рівні за гіпотенузою і катетом, у рівних трикутників відповідні сторони рівні, тому СЕ = DF.

709. Оскільки AC = AB + ВС, СЕ = CD + DE, то AC = СЕ, △АСЕ — рівнобедрений з основою AЕ, отже, ∠A = ∠E. Розглянемо △ABF = △EDK за катетом і гострим кутом. У рівних трикутників відповідні сторони рівні. AF = КЕ.

710. За теоремою про суму кутів трикутника ∠A = 180° - (∠B + ∠C) = 180° - (35° + 83°) = 180° - 118° = 62°. Розглянемо △АКС: ∠АКС = 90°; ∠A = 62°, ∠KCA = 90° - 62° = 28°. Розглянемо прямокутний △НМК, ∠ВНС — його зовнішній кут. ∠ВНС = ∠НМС + ∠KCA = 90° + 28° = 118°.