ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 7 клас
561. ОА = ОВ, отже, ∠А = ∠ОВА, ОВ = ОС, отже, ∠C = ∠OBC. Тому ∠ABC = ∠A + ∠C.
Але ∠A + ∠C = 180° - ∠ABC. ∠ABC = 180° - ∠ABC; 2∠АВС = 180°; ∠АВС = 90°. Отже, △АВС — прямокутний.
562. M, K, L — точки дотику, ВС = а. Оскільки ВМ = ВК, СК = CL — як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, то MB + CL = ВК + СК = ВС = а. Тоді P△ABC = AM + AL + MB + ВК + СК + CL. Оскільки ВМ = AL, то маємо P△ABC = 2АМ + 2а. Звідси P△ABC = 2р; 2АМ = 2р - 2а;
563. P△BMN = MN + NB + MB = (NL + LM) + NB + MB = NK + MS + NB + MB = (NK + NB) + (MS + MB) = BK + BS = AB = a.
564. △АВС — рівнобедрений (AB = BC), AC = 10 cм.
P△ADK = AK + KB1 + AD + DC1; P△CMN = CM + MB1 + CN + NA1; P△BEF = BE + EC1 + BF + FA1; P△ADK + Р△CMN + P△BEF = (AK + KB1 + AD + DC1) + (CM + MB1 + CN + NA1) + (BE + EC1 + BF + FA1) = (AK + KB1 + CM + MB1) + (AD + DC1 + BE + EC1) + (CN + NA1 + BF + FA1) = AC + AB + BC. Оскільки сума периметрів трикутників ADK, BEF і CMN дорівнює 42 см, то маємо, AC + АВ + ВС = 42, 2АВ = 32, АВ = 16 (см).
566. Розглянемо △АМС. AN, NC — бісектриси. Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, отже, MN — бісектриса кута М трикутника АМС. Тоді ∠AMN = ∠CMN.
567. Виберемо на сторонах кута В деякі точки А та С. Розглянемо △АВС. За допомоги транспортира та лінійки без поділок побудуємо бісектриси кутів А та С. О — точка їх перетину, центр кола, вписаного в △АВС. Побудуємо ОМ — бісектрису кута АОС. Оскільки усі бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, то ОМ — шукана пряма.
568. BD — медіана, бісектриса і висота рівнобедреного △АВС. △AFD = △АDО за двома катетами, тоді ∠FAD = ∠OAD = х. О — центр описаного кола, точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника. Тоді △АОВ — рівнобедрений з основою АВ, ∠ОАВ = ∠ОВА = 3х. △ABD — прямокутний, ∠ABD = 90 - 2х.
Маємо рівняння:
90 - 2х = 3х; 5х = 90°; х = 18°;
∠ВАD = 2 • 18° = 36°.
∠ABC = 180° - 36° • 2 = 108°.
Відповідь: 36°, 36°, 108°.
569. Оскільки BD — бісектриса кута ABC, то ∠ABD = ∠DBC.
∠АВР = ∠ABD. Отже, ∠АВР + ∠ABD + ∠DBC = 180°; ∠АBP = ∠ABD = ∠DBC = 180° : 3 = 60°, ∠ABD = 60° • 2 = 120°.
Відповідь: 120°.
570. △АВС — рівнобедреник (AB = ВС), АН ⟂ ВС, CL — бісектриса кута С. ∠НОС = 64°.
З △НОС: ∠Н = 90°, ∠НОС = 64°, ∠НСО = 90° - 64° = 26°.
Оскільки CL — бісектриса, то ∠С = 26° • 2 = 52°, оскільки △BAC — рівнобедрений, то ∠А = ∠С = 52°. ∠В = 180° - ∠А - ∠С = 180° - 52° - 52° = 76°.
Відповідь: 52°, 52°, 76°.
