ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 7 клас
551. △АЕМ = △СЕМ (за двома катетами: ME — спільний катет, АЕ = СЕ, оскільки АС ⟂ ME). Із рівності трикутників випливає, що AM = МС.
552. Р△ABC = АВ + ВС + АС = АМ + МВ + KВ + KС + СЕ + ЕА = 8 + 2 + 2 + 4 + 4 + 8 = 28 (см) (бо AM = ЕА, СЕ = КС, MB = ВК — як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола).
553. ВМ = ВК = 3 см — як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола. КС = СЕ = ВС - ВК = 8 - 3 = 5 (см). АЕ = AM = АВ - ВМ = 13 - 3 = 10 (см). Тоді АС = АЕ + СЕ = 10 см + 5 см = 15 см.
Відповідь: 15 см.
554. ВН ⟂ АС, тому ВН є серединним перпендикуляром до сторони АС, отже, АН = НС. Тому ВН є медіаною, отже, △АВС — рівнобедрений.
555. Точка О належить бісектрисі кута ABC. Тому бісектриса кута є також і медіаною. Отже, △АВС — рівнобедрений.
556. △BOD = △COE (за катетом і гіпотенузою: ВО = ОС, DO = ОЕ), тому BD = СЕ. Оскільки AD = AE, маємо: AB = AD + BD = АЕ + СЕ = АС.
△AOD = △COF (за катетом і гіпотенузою: АО = ОС, DO = OF), тому AD = CF. Оскільки BD = BF, маємо: AB = AD + BD = CF + BF = ВС. Таким чином, AB = ВС = AC, отже, △ABC — рівнобедрений.
557. BD : DA = 7 : 5, P = 68 см.
Нехай AD = 5х cм, BD = 7x cм. Тоді AE = 5х см.
Р△ABC = 2 • (AD + BD + AE) = 2 • (7x + 5x + 5x) = 34x.
За умовою 34x = 68; x = 2.
Отже, AB = AD + BD = 5x + 7x = 12x = 12 • 2 = 34 (см).
BC = AD = 24 cм.
AC = AE + EC = 5x + 5x = 10x = 10 • 2 = 20 (cм).
558. P△ABC = 52 cм, AD : DB = 2 : 3, CF = 6 cм.
Нехай AD = 2x cм, DB = 3х cм. Тоді BF = 3x cм, EC = 6 cм, AE = 2x cм, AB = 5x cм, BC = (3x + 6) cм, AC = (2x + 6) cм.
5x + (3x + 6) + (2x + 6) = 52; 10х = 40; x = 4; 5x = 20; 3x + 6 = 18; 2x + 6 = 14.
Відповідь: 20 см, 18 см, 14 см.
559. Hexaй ∠A = 30°, ∠B = 70°, ∠C = 80°.
AD = AF — як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, отже, △ADF — рівнобедрений. ∠ADF = ∠AFD =
CF = СЕ — як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, отже, △CFE — рівнобедрений, ∠CFE = ∠FEC =
BD = BE — як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, отже, △BED — рівнобедрений.
∠FDE = 180° - ∠ADF - ∠BDE = 180° - 75° - 55° = 50°;
∠DEF = 180° - ∠DEB - ∠FEC = 180° - 55° - 50° = 75°;
∠DFE = 180° - ∠FDE - ∠DEF = 180° - 50° - 75° = 55°.
560. BM = BN — як відрізки дотичних, проведені з однієї точки до кола. Отже,
