ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 7 клас

411. ∠BAL = ∠LAC, ∠АСК = ∠КСВ, AO = OL.

Оскільки СО — бісектриса і медіана трикутника ALC, тоді ∠АОС = 90°, що неможливо (див. задачу 410). Отже, не існує трикутника, у якого одна бісектриса ділить навпіл другу бісектрису.

413. Припустимо, що точка С не є внутрішньою точкою відрізка, тоді точка С лежить на прямій АВ поза відрізком АВ або точка С не належить прямій АВ.

Розглянемо випадок, коли С лежить на прямій АВ, але не належить відрізку АВ, тоді не виконується рівність АВ = АС + СВ. Отже, точка С не може належати прямій АВ і не належати відрізку АВ.

Якщо точка С не належить прямій АВ, то виконується нерівність АВ < АС + ВС, що суперечить умові. Отже, точка С не може лежати поза прямою АВ.

Таким чином, точка С — внутрішня точка відрізка АВ.

414. Якщо шукана точка X лежить десь на прямій m, тоді згідно з нерівністю трикутника АХ + ХВ > АВ. Сума АХ + ХВ буде найменшою, коли точка X буде належати відрізку AB. Отже, С — точка перетину відрізка AВ і прямої m.

415. Якщо одна сторона дорівнює 2,8 см, а друга сторона — 0,6 см, тоді третя сторона — х см, причому 2,8 - 0,6 < х < 2,8 + 0,6, звідси 2,2 < х < 3,4. Отже, х = 3. Отже, третя сторона дорівнює 3 см.

Відповідь: 3 см.

417. СМ = МВ, ∠САМ > ∠ВАМ.

На продовженні медіани AM за точку М відкладемо відрізок MD, який дорівнює AM. Тоді △САМ = △BDM (за двома сторонами і кутом між ними), звідси ∠САМ = ∠BDM, АС = BD.

У △ADВ: ∠ADB > ∠BAD, тоді AB > BD = АС. Отже, АВ > АС.

418. Нехай ∠В = β, тоді ∠EFB = β, ∠AEF = ∠EBF + ∠EFB = β + β = 2β i ∠EAF = 2β. Нехай ∠С = γ, тоді ∠FAC = 180° - 2∠C = 180° - 2γ.

420. AM = МС. Доведемо, що АВ + ВС > 2ВМ. На промені ВМ від точки М відкладемо MD = ВМ. △AMD = △CMB (за першою ознакою рівності трикутників, тоді ВС = AD). Оскільки для трикутника ABD справедливо, що АВ + AD > BD або АВ + AD > 2ВМ. Враховуючи, що AD = ВС, маємо: АВ + ВС > 2ВМ.