ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 7 клас
402. Нехай FB ∥ АС, тому ∠FBA = ∠BAC — як внутрішні різносторонні при паралельних прямих FB і АС та січній АВ. Oтжe, ∠DBA = 2∠BAC, aлe ∠DBA = ∠BAC + ∠BCA, тоді 2∠BAC = ∠BAC + ∠BCA, 2∠BAC - ∠BAC = ∠ВСА; ∠BAC = ∠ВСА. Оскільки ∠BAC = ∠ВСА, то △АВС — рівнобедрений (AB = ВС).
403. ∠BAC = ∠С = 2∠B. Тоді ∠B + 2 • 2∠B = 180° або 5∠B = 180°, звідси ∠В = 180° : 5, ∠B = 36°.
404. ВМ = АМ = АС. Оскільки AM = АС, то ∠С = ∠АМС = ∠В + ∠ВАМ, але ВМ = AM, тому ∠В = ∠ВАМ. Отже, ∠С = ∠ВАС = 2∠В, тоді ∠B + 2 • 2∠B = 180°; 5∠B = 180°; ∠B = 180° : 5; ∠B = 36°, ∠BAC = ∠C = 72°.
405. 2) Якщо б усі кути були меншими від 60°, то їхня сума була б менша за 180°, чого не може бути. Отже, в будь-якому трикутнику є кут, не менший за 60°.
2) Якщо б усі кути були більшими від 60°, то їх сума була б більша за 180°, чого не може бути. Отже, в будь-якому трикутнику є кут, не більший за 60°.
406. 1) Нехай α > β + γ, тоді α + α > α + β + γ або 2α > 180°, звідси α > 180° : 2; α > 90°. Отже, якщо один із кутів трикутника більший за суму двох інших, то даний трикутник — тупокутний.
Відповідь: тупокутний.
2) Нехай α — будь-який кут трикутника, тоді α < β + γ, тоді α + α < α + β + γ або 2α < 180°, звідси α < 90°. Отже, якщо будь-який з кутів трикутника менший від суми двох інших, то даний трикутник — гострокутний.
Відповідь: гострокутний.
407. Нехай α, β, γ — кути трикутника. Оскільки α + β > 90°, то γ = 180° - (α + β) < 180° - 90° = 90°. Аналогічно, α < 90°, β < 90°. Отже трикутник — гострокутний.
Відповідь: гострокутний.
408. ∠DAC = ∠В + ∠АСВ > ∠В > 90°. ∠ADC = 180° - (∠DAC + ∠ACD) < 90°, тобто ∠ADC < ∠DAC. У △DAC сторона AC лежить напроти ∠ADC, а сторона CD — напроти більшого кута DAC.
Тому CD > АС.
409. ∠С > 90°; ∠ADC = 180° - (∠С + ∠CAD) < 90°, отже, ∠С > ∠ADC.
У △ADC сторона АС лежить напроти ∠ADC, а сторонах AD — напроти більшого кута С, тому AD > АС.
410. Нехай ∠САМ = ∠МАВ, ∠CBN = ∠NBA, ∠АОВ = 90°. Тоді ∠С = 180° - (∠САВ + ∠СВА) = 180° - (2∠ОАВ + 2∠ОВА) = 180° - 2(∠ОАВ + ∠ОВА) = 180° - 2(180° - ∠OAB) = 180° - 2 • (180° - 90°) = 180° - 2 • 90° = 180° = 180° = 0°, такого бути не може. Отже, не існує трикутника, дві діагоналі якого перпендикулярні.
