ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 7 клас

421. Нехай один з кутів трикутника дорівнює х, тоді другий — 2х. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: х + 2х + 36° = 180°; 3х = 144°; х = 48°. Отже, один з кутів дорівнює 48°, другий — 48° • 2 = 96°.

Відповідь: 48°, 96°.

422. Розглянемо △AОВ і △DOC. ∠AOВ = ∠DOC (як вертикальні кути). ∠A = 180° - (∠B + ∠AOB), ∠D = 180° - (∠C + ∠DOC). Оскільки ∠B = ∠C і ∠AOB = ∠DOC, то ∠A = ∠D. Отже, △АОВ = △DOC за другою ознакою рівності трикутників.

ВС = В₁С₁, ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁. У △АВС: ∠C = 180° - (∠A + ∠B). У △A₁B₁С₁: ∠C₁ = 180° - (∠A₁ + ∠B₁). Оскільки ∠A = ∠A₁ і ∠B = ∠B₁, то ∠C = ∠C₁ Отже, △АВС = △А₁В₁С₁ за другою ознакою рівності трикутників (ВС = В₁С₁, ∠B = ∠B₁ — за умовою, ∠C = ∠C₁ — за розв’язанням).

∠ОАС + ∠OCA + ∠АОС = 180°. Звідси ∠АОС = 180° - (∠ОАС + ∠OCA) = 180° - (23° + 32°) = 180° - 55° = 125°.Оскільки кут між прямими не перевищує 90°, то кутом між прямими, на яких лежать бісектриси кутів А і С, буде кут, суміжний з кутом АОС. Отже, цей кут дорівнює 180° - 125° = 55°.

Відповідь: 55°.

Нехай у △АВC ∠А = 70°, ∠B = 80°. ВМ ⟂ АС, АК ⟂ ВС.

У △АВМ: ∠А = 70°, ∠ВМА = 90° (оскільки ВМ — висота).

∠А + ∠АВМ + ∠ВМА = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). Звідси ∠АВМ = 180° - (∠А + ∠ВМА) = 180° - (40° + 90°) = 180° - 160° = 20°.

З △АВК: ∠В = 80°, ∠АКВ = 90° (оскільки АК ⟂ ВС). За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠ВАК + ∠В + ∠АКВ = 180°. Звідси ∠ВАК = 180° - (∠В + ∠АКВ) = 180° - (80° + 90°) = 180° - 170° = 10°.

Розглянемо △АОВ. ∠ВАК + ∠АВМ + ∠ВОА = 180°. Звідси ∠ВОА = 180° - (∠ВАК + ∠АВМ) = 180° - (10° + 20°) = 180° - 30° = 150°.

Оскільки кут між прямими не перевищує 90°, то кутом між прямими, яким належать висоти, буде кут суміжний з кутом ВОА, це кут ∠АОМ = 180° - 150° = 30°.

Відповідь: 30°.

426. 1) I випадок. Нехай кут 12° — це кут у вершині рівнобедреного трикутника. Тоді сума кутів в основі трикутника дорівнює 180° - 12° = 168°. Отже, кожен із кутів в основі дорівнює 168° : 2 = 84°.

Відповідь: 12°, 84°, 84°.

II випадок. Нехай кут 12° — це кут в основі рівнобедреного трикутника, тоді і другий кут в основі дорівнює 12°. Отже, кут у вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 180° - (12° + 12°) = 180° - 24° = 156°.

Відповідь: 12°, 12°, 156°.

2) Один з кутів дорівнює 92°. Це може бути тільки кут у вершині трикутника. Тоді сума кутів в основі дорівнює 180° - 92° = 88°, а кожен з них дорівнює 88° : 2 = 44° (оскільки кути в основі рівнобедреного трикутника рівні).

Відповідь: 92°, 44°, 44°.

427. 1) І випадок. Нехай кут 28° — це кут у вершині рівнобедреного трикутника. Тоді сума кутів в основі дорівнює 180° - 28° = 152°, а кожен з кутів дорівнює 152° : 2 = 76° (оскільки кути в основі рівнобедреного трикутника рівні).

Відповідь: 28°, 76°, 76°.

II випадок. Нехай кут 28° — це кут в основі рівнобедреного трикутника, тоді і другий кут в основі дорівнює 28°, оскільки кути в основі рівнобедреного трикутника рівні. Отже, кут у вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 180° - (28° + 28°) = 180° - 56° = 124°.

Відповідь: 28°, 28°, 124°.

2) Один з кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 106°. Це може бути тільки кут у вершині трикутника. Тоді сума кутів в основі дорівнює 180° - 106° = 74°, а кожен з кутів дорівнює 74° : 2 = 37° (оскільки кути в основі рівнобедреного трикутника рівні між собою).

Відповідь: 106°, 37°, 37°.

428. Нехай а ∥ b, с — січна. ∠DAB і ∠ЕВА — внутрішні односторонні кути, АС — бісектриса кута DAB, ВС — бісектриса кута АВЕ.

∠DAB + ∠ЕВА = 180° (за властивістю внутрішніх односторонніх кутів).

З △АВС: ∠ВАС + ∠АВС + ∠ВСА = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). Звідси ∠ВСА = 180° - (∠ВАС + ∠АВС) = 180° - 90° = 90°. Отже, бісектриси двох внутрішніх односторонніх кутів при двох паралельних прямих і січній перетинаються під прямим кутом.

429. I випадок. Кут у вершині удвічі більший за кут в основі. Нехай кут в основі дорівнює x, тоді кут при вершині дорівнює 2х. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: х + х + 2х = 180°; 4х = 180°; х = 45°. Отже, кути в основі дорівнюють 45° кожен, кут у вершині — 2 • 45° = 90°.

Відповідь: 45°, 45°, 90°.

II випадок. Кут в основі рівнобедреного трикутника удвічі більший за кут у вершині. Нехай кут у вершині дорівнює х, тоді кожен з кутів в основі дорівнює 2х. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: 2х + 2х + х = 180°; 5х = 180°; х = 36°. Отже, кут у вершині дорівнює 36°, а кожен з кутів в основі дорівнює 36° • 2 = 72°.

Відповідь: 72°, 72°, 36°.

430. I випадок. Нехай кут у вершині дорівнює х, тоді кут в основі дорівнює x + 15°. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: х + (х + 15°) + (х + 15°) = 180°; 3х + 30° = 180°; 3х = 150°; х = 50°. Отже, кут у вершині дорівнює 50°, тоді кожне з кутів в основі дорівнює 50° + 15° = 65°.

Відповідь: 50°, 65°, 65°.

II випадок. Нехай кут в основі трикутника дорівнює х, тоді кут у вершині дорівнює х + 15°. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: х + х + х + 15° = 180°; 3х = 165°; х = 55°. Отже, кожен з кутів в основі дорівнює 55°, тоді кут у вершині дорівнює 55° + 15° = 70°.

Відповідь: 55°, 55°, 70°.