ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 7 клас

У △АВС ∠А + ∠В = 100°, ∠А + ∠С = 130°. ∠А + ∠В + ∠С = 180° — як сума кутів трикутника. ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - 100° = 80°, ∠A = 130° - ∠C = 130° - 80° = 50°, ∠B = 100° - ∠A = 100° - 50° = 50°.

Відповідь: 80°, 50°, 50°.

412. Припустимо, що в трикутнику всі кути менші від 60°. Тоді сума кутів трикутника менша від 180°, що суперечить теоремі про суму кутів трикутника. Отже, в кожному трикутнику є кут, не менший ніж 60°.

413. Припустимо, що в трикутнику всі кути більші за 60°. Тоді сума кутів трикутника більша від 180°, що суперечить теоремі про суму кутів трикутника. Отже, в кожному трикутнику є кут, не більший за 60°.

414. Введемо коефіцієнт пропорційності х, тоді ∠А = 3х, ∠B = 4х, ∠С = 5х. ∠А + ∠В + ∠С = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). Складемо рівняння: 3х + 4х + 5х = 180°; 12х = 180°; х = 15°. Отже, ∠A = 3 • 15° = 45°, ∠В = 4 • 15° = 60°, ∠C = 5 • 15° = 75°.

Відповідь: 45°, 60°, 75°.

415. Введемо коефіцієнт пропорційності х, тоді кути трикутника дорівнюють 2х, 3х, 5х. Складемо рівняння: 2х + 3х + 5х = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). 10х = 180°; х = 18°. Отже, кути трикутника дорівнюють: 2 • 18° = 36°, 3 • 18° = 54°, 5 • 18° = 90°.

Відповідь: 36°, 54°, 90°.

Нехай △KLM — рівнобедрений, ∠L = х, тоді ∠K = ∠M = х + 15°. Складемо рівняння: х + (х + 15°) + (х + 15°) = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). 3х + 30° = 180°; 3х = 150°; х = 50°. Отже, ∠L = 50°, ∠K = ∠M = 50° + 15° = 65°.

Відповідь: 50°, 65°, 65°.

Нехай △KLM — рівнобедрений, ∠K = ∠M = х, тоді ∠L = х + 24°. Складемо рівняння: х + х + (х + 24°) = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). 3х + 24° = 180°; 3х = 156°; х = 52°. Отже, ∠K = ∠M = 52°, ∠L = 52° + 24° = 76°.

Відповідь: 52°, 52°, 76°.

418. Припустимо, що кути в основі рівнобедреного трикутника не гострі, тобто прямі або тупі. Тоді сума цих двох кутів дорівнює 180° або більша за 180°, що суперечить теоремі про суму кутів трикутника. Отже, припущення с невірним. Кути в основі рівнобедреного трикутника гострі.

419. І випадок. Припустимо, що кут у вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 60°, тоді сума кутів в основі рівнобедреного трикутника дорівнює 180° - 60° = 120°. Оскільки кути в основі рівні, кожен з них дорівнює 60°. Отже, всі кути трикутника по 60°, тобто трикутник — рівносторонній.

II випадок. Нехай кут в основі рівнобедреного трикутника дорівнює 60°, тоді і другий кут в основі дорівнює 60°. Тоді за теоремою про суму кутів трикутника кут у вершині дорівнює 180° - (60° + 60) = 60°. Таким чином, всі кути трикутника по 60°, отже, трикутник — рівносторонній.

420. Нехай третій кут трикутника дорівнює х, тоді другий — х + 14°. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: х + х + 14° + 80° = 180°; 2х = 86°; х = 43°. Отже, третій кут дорівнює 43°, другий — 43°+ 14° = 57°.

Відповідь: 57°, 43°.