ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 7 клас
631. Геометричне місце середин усіх хорд даного кола, паралельних даній прямій, є діаметр кола, перпендикулярний до даної прямої, без кінців цього діаметра.
632. Геометричне місце середин усіх хорд даного кола, що мають задану довжину, є коло, що дотикається до даних хорд із центром, який збігається з центром даного кола.
633. Геометричне місце центрів кіл, які дотикаються до даного кола з центром О в даній точці А, є пряма ОА без точок О i А.
Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних прямих, що перетинаються, є бісектриси всіх нерозгорнутих кутів, утворених даними прямими; а і b перетинаються в точці О.
635. Дано дві прямі а і b, що перетинаються, і точка А, яка належить прямій а. О — точка перетину прямих, побудуємо бісектрису кута О, ОР — бісектриса. Із точки А проведемо перпендикуляр AD до перетину з бісектрисою ОР. Побудуємо коло із центром в точці D і радіусом AD. Це коло дотикається до кожної з двох прямих, причому до прямої а в заданій точці А.
Задача має 2 розв’язки: D та D1.
Із точки А проведемо перпендикуляр до прямої a. AM ⟂ a. Поділимо AM навпіл. ОА = ОМ. Проведемо коло із центром у точці О і радіусом ОА. Коло проходить через дану точку і дотикається до даної прямої.
∠(ab), вершина його недоступна. Побудуємо бісектрису цього кута. Візьмемо на прямій а точку К, проведемо пряму, перпендикулярну а, через цю точку, візьмемо на прямій точку М, проведемо пряму, перпендикулярну b через цю точку. На цих прямих відкладемо рівні відрізки КР = MN, проведемо прямі, паралельні прямим а і b, через точки Р і N; a1 ∥ а; b1 ∥ b, знайдемо точку їхнього перетину О. Побудуємо бісектрису кута О — пряму l. Ця пряма l буде бісектрисою кута, вершина якого недоступна.
Побудуємо АВ — відрізок. Поділимо відрізок АВ навпіл. АО = ОВ. Побудуємо півколо з радіусом ОА і центром О. Із точки А радіусом, що дорівнює одній із висот, проводимо дугу, що перетинає коло в точці D. Із точки В радіусом, що дорівнює другій висоті, проводимо дугу, що перетинає коло в точці Е.
∠АЕВ = 90°; ∠ADВ = 90° — кути, що спираються на діаметр. Продовжимо АD і BE до перетину в точці С. △АВС — шуканий. Це трикутник побудований за двома висотами та стороною.
Проведемо пряму а, візьмемо на ній точку Н, через цю точку проведемо пряму. НС ⟂ a i відкладемо на ній відрізок НС, що дорівнює висоті трикутника. Із точки С радіусом, що дорівнює медіані трикутника, проведемо дугу кола і знайдемо точку перетину з прямою а. М — точка перетину, CM — медіана. Відкладемо відрізки рівної довжини МА = MB, АВ — сторона трикутника до якої проведено медіану і висоту.
△АВС — шуканий. При побудові можна отримати чотири рівних трикутники.
640. Коло дотикається до катетів MN і МР в точках А і В відповідно, а центр О лежить на гіпотенузі NP. ОА ⟂ MN,
OB ⟂ MP (радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної).
∠NMP = 90°; АО ∥ МВ; ОВ — січна; ∠МВО ≠ ∠АОВ = 180°; внутрішні односторонні кути. ∠АОВ = 180° - ∠МВО = 180° - 90° = 90°.
Відповідь: 90°.
Нехай вершини А і В △АВС лежать на колі із центром у точці О. О лежить на стороні АС. ВК — дотична до кола, проведена через точку В.
∠ВАО = 45°; △AОВ — рівнобедрений. ∠ОBА = 45°; (АО = ОВ = R) ∠ОВК = 90°; ОВ — радіус, проведений в точку дотику. ОВ ⟂ ВК.
∠АВК = ∠ОВК - ∠ОBА = 90° - 45° = 45°;
∠AВК = ∠ОАВ — це внутрішні різносторонні кути при прямих АО і ВК і січній АВ, отже АС ∥ ВК.
