ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 7 клас

Точки В і С віддалені від точки А на відстань R. В і С — точки перетину кіл із центрами в точках А і О і радіусами R.

Геометричним місцем точок, рівновіддалених від даної прямої а на відстань d, є дві прямі, паралельні а й віддалені від неї на d.

Виберемо на прямій а довільну точку А, проведемо перпендикуляри до прямої а через точку А довжиною d. Отримали точки A₁ та А₂ — віддалені на відстань d від прямої а.

Виберемо на прямій а довільну точку В, проведемо перпендикуляри В₁В = d, В₂В = d до прямої а. Оскільки таких точок безліч, то прямі A₁B₁ та А₂В₂ є геометричним місцем точок віддалених від прямої а на відстань d.

Доведемо, що будь-яка точка C₁ прямої А₁В₁ віддалена від прямої а на відстань d. C₁C ⟂ a.

∠CAC₁ = ∠A₁C₁А — як внутрішні різносторонні. △AA₁C₁ = △С₁СА за гіпотенузою і гострим кутом. Тоді C₁C = A₁A = d, що й треба було довести.

Геометричним місцем точок, рівновіддалених від двох паралельних прямих, є пряма, яка паралельна цим прямим (с ∥ а; с ∥ b) і проходить через середину спільного перпендикуляра. АВ ⟂ а, АВ ⟂ b, АО = ОВ.

Нехай а ∥ b, BA ⟂ a, BA ⟂ b, с ∥ а, с ∥ b, АС = СВ.

Доведемо, що будь-яка точка прямої с рівновіддалена від прямих а і b.

Нехай D — деяка точка прямої с. Проведемо ЕК ⟂ с через точку D.

△АСЕ = △DEC за спільною гіпотенузою і гострим кутом (∠АЕС = ∠DCE як внутрішні різносторонні). Тоді ED = СА.

Аналогічно △DKC = △ВСК, DK = СВ. Оскільки АС = ВС, то ED = DK, що й треба було довести.

Геометричним місцем центрів кіл, що проходять через точки А і В, є серединний перпендикуляр до відрізка AB. MN ⟂ АВ.

625. Геометричним місцем центрів кіл радіуса R, що проходить через дану точку А, є коло із центром в точці А і радіусом R.

Геометричним місцем центрів кіл, що дотикаються до сторін даного нерозгорнутого кута, є бісектриса даного кута без його вершини О. ОК — бісектриса

Геометричним місцем точок С, які є вершинами трикутників з основою АВ і заданою висотою h, є дві прямі паралельні АВ і віддалені від неї на h. а ∥ АВ; b ∥ ab; CK ⟂ AB, CK = h.

АВ — пряма. CD = l; C₁D = l. CD ⟂ АВ. C₁D ⟂ АВ. Ці точки С і С₁ лежать на серединному перпендикулярі до відрізка АВ на відстанях l від нього.

ВА = СВ; ВК — бісектриса кута, АС ⟂ ВК. Шукана точка D лежить на перетині бісектриси кута і серединного перпендикуляра до відрізка АС.

ВА ≠ СВ. Шукана точка D лежить на перетині бісектриси кута В (ВК) і серединному перпендикулярі до відрізка AC (l ⟂ AC).

630. 1) прямий кут K;

2) на одній стороні відкладемо відрізок АК = h_a;

3) проведемо частину кола із центром у точці А і радіусом АВ = b;

4) від точки В відкладемо відрізок ВС = а, сполучимо точки А і С. △АВС — шуканий. АВ = b; ВС = а; АК ⟂ ВС; АК = h_a.