ГДЗ до підручника «Алгебра» А.Г. Мерзляка. 9 клас

16.32. 1) an = 6 + 7n; an+1 - an = 6 + 7(n + 1) - (6 + 7n) = 6 + 7n + 7 - 6 - 7n = 7;

аn+1 = an + 7, тобто кожний член даної послідовності, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого додано одне й те саме число 7. Таким чином, дана послідовність є арифметичною прогресією: d = 7; a1 = 6 + 7 • 1 = 6 + 7 = 13.

16.33. Нехай а1; а2; а3; а4; а5; а6; ... — арифметична прогресія з різницею d. Розглянемо послідовність а2; а4; ...; а2n-2; а2n; а2n+2; ...

а2n-2 = а1 + (2n - 2 - 1)d = a1 + (2n - 3)d;

a2n+2 = a1 + (2n + 2 - 1)d = a1 + (2n + 1)d;

а2n = а1 + (2n - 1)d.

16.34. Нехай a1; a2; a3; a4; ... — арифметична прогресія з різницею d1;

b1; b2; b3; b4; ... — арифметична прогресія з різницею d2.

Розглянемо послідовність a1 - b2; a2 - b2;

an-1 - bn-1; an - bn; an+1 - bn+1;

an-1 - bn-1 = a1 + d1(n - 2) - b1 - d2(n - 2);

an+1 - bn+1 = a1 + d1n - b1 - d2n;

an - bn = а1 + d1(n - 1) - b1 - d2(n - 1) = а1 - b1 + (n - 1)(d1 - d2).

16.35. Нехай a1; a2; a3; a4; a5; a6; ... — арифметична прогресія з різницею d ≠ 0. Розглянемо послідовність a1; a2; a4; a5; a7; a8; ... a2 = a1 + d; а4 = a1 + 3d.

16.36. Нехай a1; a2; a3; ... — арифметична прогресія з різницею d. Розглянемо послідовність 4a1; 4a2; 4a3; ...; 4an-1; 4an; 4an+1; ...

4an-1 = 4 • (a1 + d(n - 1 - 1)) = 4(a1 + d(n - 2)) = 4а1 + 4dn - 8d;

4an+1 = 4 • (a1 + d(n + 1 - 1)) = 4a1 + 4dn;

4an = 4 • (a1 + d(n - 1)) = 4a1 + 4dn - 4d.

16.37. 180(n - 2) — сума кутів опуклого n-кутника.

Розглянемо послідовність 180; 360; ...;

180(n - 1 - 2); 180(n - 2); 180(n + 1 - 2); ...

у2 + 8у - 9 - 2(у2 + у); у2 + 8у - 9 = 2у2 + 2у;

2 - у2 + 2у - 8y + 9 = 0; у2 - 6у + 9 = 0;

(у - 3)2 = 0; у - 3 = 0; у = 3.

у2 + 1 = 32 + 1 = 9 + 1 = 10;

у2 + y = 32 + 3 = 9 + 3 = 12;

8y - 10 = 8 • 3 - 10 = 24 - 10 = 14.

Відповідь: при у = 3 маємо a1 = 10; а2 = 12; а3 = 14.