ГДЗ до підручника «Алгебра» О.С. Істера. 8 клас
1091. х2 - (а + 2)х + а - 3 = 0;
D = (а + 2)2 - 4(а - 3) = а2 + 4а + 4 - 4а + 1 + 2 = а2 + 16 > 0;
х12 + х22 = (х1 + х2)2 - 2х1х2 = (а + 2)2 - 2(а - 3) = а2 + 4а + 4 - 2а + 6 = а2 + 2а + 10 = (а2 + 2а + 1) - 1 + 10 = (а + 1)2 + 9
Отже, сума квадратів коренів даного рівняння буде найменшою при а = -1.
Відповідь: при а = -1.
1092. х2 + (b + 1)х + b2 - 1,5 = 0;
D = (b + 1)2 - 4(b2 - 1,5) = b2 + 2b + 1 - 4b2 + 6 =-3b2 + 2b + 7;
Якщо D ≥ 0, то
х12 + х22 = (х1 + х2)2 - 2x1x2 = (-(b + 1))2 - 2(b2 - 1,5) = b2 + 2b + 1 - 2b2 + 3 = -b2 + 2b + 4 = -(b2 - 2b - 4) = -(b2 - 2b + 1 - 1 - 4) = -((b - 2)2 - 5) = -(b - 2)2 + 5
Отже, сума квадратів коренів даного рівняння буде найбільшою при b = 1.
Відповідь: при b = 1.
1095. b2x2 + (b2 + с2 - а2)х + с2 = 0;
D = (b2 + с2 + а2)2 - 4b2с2 = (b2 + с2 - а2 - 2bс)(b2 + с2 - а2 + 2bс) = ((b2 - 2bс + с2) - а2)((b2 + 2bс + с2) - а2) = ((b - с)2 - а2)((b + с)2 - а2) = (b - с - а)(b - с + а)(b + с - а)(b + с + а) = (b - (с + а))((а + b) - с)((а + b) - а)(b + с + а).
Оскільки а, b і с — сторони трикутника, то b - (с + а) < 0, (а + b) - с > 0, (b + с) - а > 0, b + с + а > 0.
Отже, D < 0, тому рівняння b2х2 + (b2 + с2 - а2)х + с2 = 0 не має коренів.
1097. 1) х3 - 7х + 6 = 0; х3 - 7х + 7 - 1 = 0;
(х3 - 1) - (7х - 7) = 0;
(х - 1)(х2 + х + 1) - 7(х - 1) = 0;
(х - 1)(х2 + х + 1 - 7) = 0;
(х - 1)(х2 + х - 6) = 0;
х - 1 = 0 або х2 + х - 6 = 0; х = 1 або
х = -3, або х = 2.
Відповідь: -3; 1; 2,
2) х2 - 6х2 + 5 = 0; х3 - 6х2 + 5 = 0;
х3 - 6х2 + 6 - 1 = 0; (х3 - 1) - 6(х2 - 1) = 0;
(х - 1)(х2 + х + 1) - 6(х - 1)(х + 1) = 0;
(х - 1)(х2 + х + 1 - 6х - 6) = 0;
(х - 1)(х2 - 5х - 5) = 0;
x - 1 = 0, х = 1 або х2 - 5х - 5 = 0;
D = 25 - 4 • 1 • (-5) = 25 + 20 = 45;
