ГДЗ до підручника «Алгебра» H.А. Тарасенкової. 7 клас
691. Ці числа можна представити у вигляді 13n + 1 та 13n + 3, тоді розглянемо різницю їх кубів:
(13n + 3)3 - (13n + 1)3 = (13n + 3 - 13n - 1)((13n + 3)2 + (13n + 3)(13n + 1) + (13n + 1)2) = 2(169n2 + 78n + 9 + 169n2 + 13n + 39n + 3 + 169n2 + 26n + 1) = 2(3 • 169n2 + 143n + 13) = 13(2 • 3 • 13n2 + 11n + 1); 13(2 • 3 • 13n2 + 11 + 1) : 13 = 78n2 + 11n + 1, що й треба було довести.
692. (х2 - ху + у2)3 + (х2 + ху + у2)3 = (х2 - ху + у2 + х2 + ху + у2)((х2 - ху + у2)2 - (х2 - ху + y2)(x2 + ху + у2) + (х2 + ху + y2)2) = 2(х2 + y2)(х2 - ху + у2)2 - 2(х2 - ху + у2) • (x2 + ху + у2) + (х2 + ху + у2) + (х2 - ху + у2)(х2 + ху + у2)) = 2(х2 + у2)((х2 - ху + у2 - (х2 + ху + у2))2 + (х2 - ху + у2)(x2 + ху + у2)) = 2(х2 + у2)(-2ху)2 + х4 + х3у + х2у2 - х3у - х2у2 - ху3 + х2у2 + ху3 + у3) = 2(х2 + у2)(4х2у2 + х4 + х2у2 + у3) ≥ 0.
х2 > 0; у2 > 0; х4; у4 > 0; х2у2 > 0 для будь-яких х і у;
х2 + у2 ≥ 0 для будь-яких х і у.
693. Розглянемо ліву частину:
(х + у + z)3 - х3 - у2 - z3 = (у + z)(x2 + у2 + z2 + 2ху + 2уz + х2 + ху + 2хz + xz + х2) - (y + z)(у2 - уz + z2);
(х + у + z)3 - x3 = (х + у + z - х)((х + у + z)2 + х(х + у + z) + x2) = (у + z)((x + у + z)2 + х(х + у + z) + х2);
у3 + z3 = (у + z)(y2 - yz + z2);
(у + z)((3x2 + у2 + z2 + 3ху + 3xz + 2yz) - (у2 - yz + z2)) = 3(y + z)(x2 + xy + xz + yz);
Розглянемо праву частину: 3(х + у)(у + z)(x + z) = 3(у + z)(x2 + xz + ху + yz).
Отримали, що ліва частина дорівнює правій, що й треба було довести.
695. 1) а3 + b3 = (а + b)(а2 - аb + b2) = -3(а2 + b2 + 10) = -3 • 10 - 3(а2 + b2) = -30 - 3 • 29 = -30 - 87 = -117;
а2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = (-3)2 - 2 • (-10) = 9 + 20 = 29;
(а + b)2 = а2 + 2аb + b2;
2) а3 - b3 = (а - b)(a2 + ab + b2) = -5(а2 + b2 + 14) = -5(а2 + b2) - 70 = -5 • 53 - 70 = -335;
(а - b)2 = (b - а)2 = b2 - 2аb + а2;
b2 + а2 = (b - а)2 + 2аb = 52 + 2 • 14 = 25 + 28 = 53.
Застосуйте на практиці
696. 30 см = 0,3 м.
1 м3 — об’єм ящика з ребром 1 м;
1 - 0,3 = 0,7 (м) — ребро нового ящика;
0,73 = 0,343 (м3) — об’єм нового ящика;
1 - 0,343 = 0,657 (м3) — на стільки зменшився об’єм ящика.
697. У кубі 12 ребер.
1,8 : 12 = 0,15 (м) — сторона (ребро) більшого куба;
1,44 : 12 = 0,12 (м) — ребро меншого куба.
На 0,153 - 0,123 = 0,003375 - 0,001728 = 0,001647 (м3) об’єм більшого куба більший.
698. 123 = 1728 (см3) — об’єм ємності з цукром;
83 = 512 (см3) — об’єм ємності з сіллю.
На 1728 - 512 = 1216 (см3) більше ємності за об’ємом мама зберігає цукру аніж солі.
Задачі на повторення
700. 1) Спростимо ліву частину:
5(а - b) + 6(b - с) - 3(а - с) = 5а - 5b + 6b - 6с - 3а + 3с = 2а + b - 3с;
Спростимо праву частину: 3(a - с) + (6 - а) = 3а - 3с + 6 - а = 2а + 6 - 3с;
Отримали, що ліва частина дорівнює правій, що і потрібно було довести;
2) 5(a - b) + 6(b - с) - 3(а - c) = 5а - 5b + 6b - 6с - 3а + 3с = 2а + b - 3с = 3а - а + b - 3с = 3(а - с) + (b - а), що й потрібно було довести.
