§ 21. Маятники

Період коливань пружинного маятника. З попередніх рівнянь, отриманих для коливань горизонтального пружинного маятника, видно, що прискорення в довільний момент часу пропорційне зміщенню: а = -ω²x. Водночас, у будь-якій точці траєкторії сила пружності напрямлена до положення рівноваги і прямо пропорційна зміщенню, F_п_p = -kx, де k — жорсткість пружини.

Період коливань математичного (нитяного) маятника. Математичний маятник — це модель ідеальної коливальної системи. Реальний нитяний маятник (мал. 93), що складається з невеликого тіла й довгої тонкої нерозтяжної нитки (наприклад, сталевого дроту), можна вважати математичним маятником.

Мал. 93. Нитяний маятник

Нитяний маятник коливається під дією сили тяжіння mg і сили натягу нитки F_н. За малих відхилень такого маятника від положення рівноваги (α < 5°) його коливання будуть гармонічними.

Відведемо коливне тіло в крайнє праве положення. У цьому разі рівнодійна сили тяжіння та сили натягу нитки напрямлена проти зміщення — до положення рівноваги (мал. 93). З малюнка видно, що за модулем ця рівнодійна дорівнює F = mg sin α.

Оскільки кут відхилення малий, то дуга ^⏝ЕА, по якій рухається кулька, мало відрізняється від півхорди ВА, тому зміщення х = ВА. Крім того, для малих кутів виконується співвідношення sin α ≈ tg α. З трикутника ОВА

де l — довжина нитки.

Таким чином, проекція рівнодійної, що діє на коливне тіло (оскільки вона напрямлена проти зміщення) описується формулою

Як бачимо, цей вираз аналогічний виразові для сили пружності F_п_px = -kx, де роль коефіцієнта пружності k відіграє величина

Однакові причини виникнення коливань ведуть до однакових результатів. Виведемо формулу періоду коливань нитяного маятника так само, як ми це робили для пружинного маятника. Оскільки коливання математичного маятника є гармонічними, то прискорення в довільний момент часу пропорційне зміщенню, а = -ω²х. Водночас у будь-якій точці траєкторії рівнодійна F напрямлена до положення рівноваги і прямо пропорційна зміщенню,

Період власних коливань нитяного маятника не залежить від маси й амплітуди коливань, а визначається прискоренням вільного падіння та довжиною маятника.

Оскільки будь-який маятник має фіксований період коливань, їх використовують для регулювання ходу годинників. Маятники використовують і в геологічних розвідках. У місцях, де залягають породи металевих руд, значення g аномально велике. Точні вимірювання прискорення вільного падіння за допомогою математичного маятника дають змогу виявити такі родовища.

За допомогою математичного маятника можна переконатися в існуванні добового обертання Землі. Цей дослід у 1851 р. в Парижі виконав Жан Фуко з маятником завдовжки 67 м. Тому маятники, за допомогою яких можна продемонструвати добове обертання Землі навколо своєї осі, називають маятниками Фуко.

Зміст досліду полягає в тому, що площина коливань математичного маятника залишається незмінною відносно інерціальної системи відліку. Тоді відносно неінерціальної системи відліку, пов’язаної із Землею, внаслідок дії сили Коріоліса, площина коливань маятника має повертатись.

Пізніше цей дослід повторювали в різних місцях. Очевидно, що ефект повороту площини коливань маятника залежить від широти місця проведення досліду, він найбільш виражений на земних полюсах і не спостерігається на екваторі.

Часто в задачах розглядають нитяний маятник, який коливається, рухаючись із певним прискоренням а. У цьому разі період коливань маятника визначають з формули:

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

1. Яку коливальну систему називають математичним (нитяним) маятником; пружинним маятником? 2. Для яких відхилень від положення рівноваги коливання нитяного маятника будуть гармонічними? 3. Виведіть формулу періоду коливань нитяного маятника. Чи залежить період коливань маятника від його маси? 4. Від чого залежить період коливань пружинного маятника? 5. Які перетворення енергії відбуваються під час гармонічних коливань?

Експериментуємо

1. Визначте площу стола. (Обладнання: нитяний маятник, секундомір. Вказівка: визначте довжину нитки й скористайтеся нею як одиничним відрізком.)
2. Якою має бути довжина нитяного маятника, щоб його період коливання дорівнював періоду власних коливань пружинного маятника? Здійсніть експериментальну перевірку. (Обладнання: штатив лабораторний, спіральна пружина, нитяний маятник, лінійка, тягарець)
3. Визначте період коливань фізичного маятника. (Обладнання: фізичний маятник, нитяний маятник, штатив.)
4. Визначте масу тіла за допомогою пружинного маятника. (Обладнання: лабораторний штатив, набір пружин, тягарці відомої маси, тягарець невідомої маси, секундомір.)
5. Визначте радіус кульки нитяного маятника. (Обладнання: кулька з ниткою, штатив, стрілка-фіксатор на підставці, секундомір.)
6. Визначте жорсткість пружини пружинного маятника. (Обладнання: спіральна пружина, тягарець невідомої маси, штатив, важіль, відерце Архімеда, мензурка з водою, секундомір).
7. Визначте відношення магнітної і гравітаційної сил, що діють на нитяний маятник, який коливається в полі цих сил. Дослідіть залежність відношення цих сил від відстані між залізною кулькою нитяного маятника й електромагнітом. (Обладнання: нитяний маятник, електромагніт, штатив, секундомір.)

Приклади розв'язування задач

Задача. Нитяний маятник завдовжки 1 м коливається з амплітудою 1 см. За який час він пройде шлях 1 см, якщо в початковий момент маятник проходить положення рівноваги? За який час маятник пройде: а) першу половину амплітуди; б) другу половину амплітуди?

Вправа 17

1. Маятник зробив 50 коливань за 1 хв 40 с. Визначте період, частоту та циклічну частоту коливань.

2. Як відносяться довжини нитяних маятників, якщо за однаковий час перший робить 10, а другий — 30 коливань?

3. За один і той самий час перший нитяний маятник робить 50 коливань, другий — 30. Визначте довжини цих маятників, якщо один з них на 32 см коротший від іншого.

4. Як зміниться хід годинника з маятником на металевому стержні: а) з підвищенням температури; б) під час підняття на гору; в) при переміщенні від полюса до екватора?

5. У скільки разів зміниться період коливань маятника в ракеті, яка стартує з поверхні Землі вертикально вгору з прискоренням 30 м/с²?

6. Нитяний маятник на Землі має період малих коливань 1 с. Яким буде період його коливань на Місяці?

7. Визначте прискорення вільного падіння в тому місці земної поверхні, де довжина секундного маятника буде 0,995 м.