Черчение. 8-9 класс. Сидоренко

2. Геометрические построения на чертежах

2.1. Анализ графического состава изображения

Контуры изображений предметов на чертежах представляют собой плоские фигуры, образовавшиеся прямолинейными и криволинейными отрезками. Прямолинейные отрезки могут изображать стороны различных геометрических фигур и быть параллельными, перпендикулярными или образовывать между собою различные углы. Криволинейные отрезки чаще всего являются дугами окружностей.

Построение фигуры контура изображения на чертежах сводится к выполнению отдельных геометрических построений. Каждое геометрическое построение определяет взаимное расположение нескольких элементов контура изображения. Очень часто на чертежах выполняют построение геометрических фигур, деление отрезков прямых, углов и окружностей на равные части, построение отрезков прямых при заданном их взаимном размещении. Некоторые из этих построений вам уже известны из уроков математики (например, построение геометрических фигур), поэтому в этом учебнике они не рассматриваются. Позже вы ознакомитесь с более сложными построениями.

Прежде чем начать выполнять чертеж, нужно выяснить, какие геометрические построения следует применить на нем. Определение геометрических построений, необходимых для выполнения чертежа, называют анализом графического состава изображения. В основу этого анализа положено расчленение процесса построения контура изображения на отдельные геометрические построения.

Рассмотрим пример. На рисунке 13 показано изображение контура плоского предмета. Чтобы начертить его, необходимо выполнить следующие построения:

• провести две взаимно перпендикулярные центровые линии;
• провести две концентрические окружности диаметром 32 и 50 мм;
• провести две вертикальные линии на расстоянии 28 мм друг от друга;
• провести линию, параллельную горизонтальной центровой линии на расстоянии 45 мм от нее;
• поделить окружность диаметром 32 мм на три равные части;
• провести три окружности диаметром 10 мм с центрами в полученных точках.

Рис. 13. Изображение контура плоского предмета

Определение построений, из которых складывается контур изображения, облегчает выполнение чертежа.

ВОПРОСЫ

• 1. Какие геометрические построения вы знаете?
• 2. Как называется процесс расчленения построения контура изображения на отдельные графические построения?
• 3. Для чего нужен анализ графического состава изображений?

ЗАДАНИЕ

• На рисунке 14 показаны изображения контуров предметов. Внимательно рассмотрите их и определите, какие геометрические построения нужно выполнить, чтобы начертить любой из изображенных контуров.

Рис. 14. Задание для упражнений

2.2. Проведение параллельных и перпендикулярных прямых. Построение углов

Проведение прямых при заданном их размещении. Выполнение чертежей требует проведения значительного количества параллельных и перпендикулярных линий. Поэтому эти линии нужно уметь проводить не только точно, но и быстро. Чтобы тратить, по возможности, меньше времени на проведение параллельных и перпендикулярных линий, следует пользоваться линейкой и угольником (желательно равнобедренным).

Чаще всего параллельные линии (горизонтальные, вертикальные и наклонные) проводят так, как показано на рисунке 15. Расстояние между параллельными линиями устанавливают по шкале линейки.

Взаимное размещение линейки и угольника во время проведения параллельных линий может быть и другим. Пусть через точку С нужно провести прямую, параллельную заданной прямой АВ (рис. 16). Для этого совмещают гипотенузу угольника с заданной прямой АВ так, чтобы вершина прямого угла была внизу. Придерживая одной рукой угольник, второй подводят к одному из катетов линейку (рис. 16, а). Линейку в таком положении крепко прижимают к чертежу, а второй рукой двигают угольник вверх к точке С так, чтобы катет не отставал от линейки. Совместив с точкой С гипотенузу угольника, проводят по ней искомую прямую (рис. 16, б).

Рис. 15. Проведение горизонтальных (а), вертикальных (б) и наклонных (в) параллельных линий с помощью угольника и линейки

Рис. 16. Проведение линий, параллельных заданной прямой

Чтобы начертить еще несколько параллельных линий, угольник передвигают выше или ниже точки С, не меняя положения линейки проводят параллельные линии (рис. 16, в).

Перпендикулярность линий определяется наличием прямого угла между ними. Поэтому очень просто выполнить построение двух взаимно перпендикулярных отрезков с помощью угольника и линейки (рис. 17). Сначала проводят горизонтальный отрезок, а потом с помощью угольника проводят к нему перпендикуляр.

Рис. 17. Построение взаимно перпендикулярных отрезков с помощью угольника и линейки

Если на прямой задана точка, через которую должен пройти перпендикуляр, его построение будет следующим. Пусть на прямой АВ находится точка С (рис. 18). Гипотенузу угольника совмещают с заданной прямой и к одному из катетов прикладывают линейку (рис. 18, а). Линейку в таком положении прижимают к чертежу, а угольник переворачивают и ставят на линейку вторым катетом так, чтобы его гипотенуза совпадала с точкой С. Проводят искомую прямую линию, которая будет перпендикуляром к АВ (рис. 18, б). Если на прямой АВ еще есть точки, через которые нужно провести перпендикуляры, то гипотенузу угольника снова совмещают с ними и проводят эти перпендикуляры (рис. 18, в).

Рис. 18. Построение перпендикуляра к прямой в заданной на ней точке

На чертежах параллельные линии не всегда расположены горизонтально, а перпендикулярные — вертикально. Часто изображение на чертеже занимает наклонное положение. Из рисунка 19 видно, что способы проведения параллельных и перпендикулярных линий от этого не меняются.

Поскольку во время построения параллельных и перпендикулярных линий линейка должна оставаться недвижимой, а двигаться должен только угольник, то пользоваться нужно линейкой деревянной, а угольником пластмассовым, чтобы облегчить передвижения одного инструмента относительно другого.

Рис. 19. Построение взаимно перпендикулярных отрезков с помощью угольника и линейки

Построить перпендикуляр в конце отрезка прямой можно с помощью циркуля. Для этого из произвольной точки О, находящейся над отрезком АВ (рис. 20), проводят окружность так, чтобы она проходила через точку А (конец отрезка) и пересекала прямую в точке М. Через точку М и центр окружности О проводят прямую к встрече с противоположной стороной окружности в точке N. Точку N соединяют прямой с точкой А. Отрезок АN и будет перпендикуляром к АВ.

Рис.20. Построение перпендикуляра в конце отрезка прямой

Построение углов. Как построить заданный угол с помощью транспортира, вам известно из уроков математики. Имея в своем распоряжении угольник с углами 30°, 60°, 90° и 45°, 45° и 90°, можно без транспортира строить углы 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 120°, 135°, 150°. Рациональные приемы построения этих углов показаны на рисунке 21.

Рис. 21. Приемы построения углов угольниками и линейкой

ВОПРОСЫ

• 1. Какие чертежные инструменты можно применить для проведения параллельных и перпендикулярных отрезков прямых?
• 2. Какие способы проведения параллельных и перпендикулярных отрезков прямых вы знаете?
• 3. С помощью какого чертежного инструмента можно построить любой угол на чертеже?
• 4. Какие углы можно построить с помощью угольника и линейки?

2.3. Деление отрезков и углов на равные части

Деление отрезков на равные части. Много предметов имеют одинаковые элементы, равномерно расположенные вдоль прямой. Поэтому возникает необходимость на чертежах делить отрезки прямых на равные части. Удобнее всего это делать с помощью линейки с нанесенной на ней миллиметровой шкалой. Но при таком делении иногда возникают неудобства. Пусть отрезок длиной 47 мм нужно поделить на 9 равных частей или отрезок, который составляет 19 мм, — на 2 части. Как быть? Вот почему целесообразнее применять графический метод — когда операция деления выполняется с помощью циркуля и линейки.

Деление отрезка прямой на две равные части. Из точек А и В заданного отрезка как из центров радиусом К, большим половины его длины, проводят две дуги окружности (рис. 22). Полученные в местах пересечения дуг окружностей точки С и D соединяют между собою. Прямая, что соединила точки С и D, делит отрезок АВ пополам и перпендикулярна к нему.

Рис. 22. Деление отрезка прямой на две равные части с помощью циркуля

Деление отрезка прямой на произвольное число равных частей. Из крайней точки отрезка, например из точки А, проводят под острым углом к нему вспомогательную прямую. На ней с помощью линейки или циркуля откладывают нужное количество одинаковых отрезков произвольной длины (рис. 23). Крайнюю точку соединяют со вторым концом заданного отрезка (с точкой В). Из всех точек деления с помощью линейки и угольника проводят прямые, параллельные отрезку 9В (см.рис. 16). Эти прямые поделят отрезок АВ на заданное количество равных частей.

Рис. 23. Деление отрезка прямой на произвольное число равных частей

Деление углов на равные части. Изучая математику, вы ознакомились с делением углов на части с помощью транспортира. В черчении существуют приемы деления некоторых углов с помощью циркуля.

Деление угла на две равные части. Из вершины угла произвольным радиусом проводят дугу окружности так, чтобы она пересекла стороны угла (рис. 24). Из точек пересечения М и N как из центров радиусом, большим чем половина дуги МN, проводят две дуги окружностей до пересечения между собою. Полученную точку А и вершину О угла соединяют прямой линией — это будет биссектриса угла. Рассмотренный прием может быть применен для деления острого, тупого или прямого угла.

Рис. 24. Деление угла на две равные части с помощью циркуля

Деление прямого угла на три равные части. Из вершины прямого угла произвольным радиусом R проводят дугу окружности так, чтобы она пересекла стороны угла (рис. 25). Из точек пересечения А и В этим же радиусом проводят вспомогательные дуги до пересечения с дугой, проведенной ранее. Полученные точки М и N соединяют прямыми линиями с вершиной угла. Этим способом можно делить на три равные части только прямой угол.

Рис. 25. Деление прямого угла на три равные части с помощью циркуля

ВОПРОСЫ

• 1. В чем заключаются недостатки деления отрезков с помощью линейки с миллиметровой шкалой?
• 2. Как графически поделить отрезок прямой на две равные части?
• 3. Как графически поделить отрезок прямой на произвольное число равных частей?
• 4. Можно ли графически поделить на две равные части прямой угол?
• 5. Можно ли графически поделить на три равные части острый угол?

2.4. Деление окружности на равные части

Деление окружности на три равные части. Для деления нужны линейка и угольник с углами 30°, 60°, 90°. Угольник большим катетом устанавливают параллельно вертикальному диаметру окружности (рис. 26, а). Вдоль гипотенузы из точки 1 (первое деление, оно совпадает с концом диаметра), проводят хорду и получают второе деление — точку 2. Развернув угольник, проводят вторую хорду и получают третье деление — точку С (рис. 26, б). Соединив точки 2 и 3 отрезками прямой, получают равносторонний треугольник.

Рис. 26. Деление окружности на три равные части: а, б — с помощью угольника и линейки; в — циркулем

Эту же задачу можно решить с помощью циркуля. Из точки верхнего (или нижнего) конца вертикального диаметра как из центра (рис. 26, в), проводят дугу радиусом, который равняется радиусу R окружности. В местах пересечения проведенной дуги с окружностью получают точки 1 и 2 — первое и второе деление. Третье деление находится на противоположном конце диаметра.

Рис. 27. Деление окружности на четыре равные части с помощью угольника и линейки

Деление окружности на четыре равные части. Чтобы поделить окружность на четыре равные части, нужно провести два взаимно перпендикулярных диаметра.

Два способа таких построений показаны на рисунке 27. На рисунке 27, а диаметры проведены с помощью линейки и катета равнобедренного треугольника, а стороны вписанного квадрата — по его гипотенузе. На рисунке 27, б и в наоборот, диаметры проведены по гипотенузе угольника, а стороны квадрата — с помощью линейки и катета угольника.

Деление окружности на пять равных частей. Эту задачу можно решить с помощью транспортира, последовательно откладывая от одного из диаметров центральные углы в 72° (так как пятой части окружности отвечает этот угол).

С помощью циркуля деление выполняют в такой последовательности (рис. 28). В конце горизонтального диаметра ставят точку А. Из точки А, как из центра, радиусом R окружности проводят дугу, пересекающую окружность в точках В и В'. Эти точки соединяют прямой линией, которая пересекает горизонтальный диаметр в точке С. Это середина отрезка АО.

Рис. 28. Деление окружности на пять равных частей с помощью циркуля

В верхнем конце вертикального диаметра ставят точку 1. Из точки С, как из центра, проводят дугу радиусом R₁, которая равна расстоянию между точками С и 1. Эта дуга пересекает горизонтальный диаметр окружности в точке D. Из точки 1, как из центра радиусом R₂, проводят третью дугу, которая равна расстоянию между точками 1 и D. Эта дуга пересекает окружность в точке 2. Точка 1 будет первым делением на окружности, а точка 2 — вторым. Расстояние между точками 1 и 2 откладывают с помощью циркуля по окружности и получают точки 3, 4 и 5.

Деление окружности на шесть равных частей. Деление выполняют с помощью линейки и угольника с углами 30°, 60° и 90°. Для этого из конечных точек вертикального диаметра окружности проводят отрезки по гипотенузе угольника, приложенного к линейке большим катетом (рис. 29, а, б). Заканчивают построение проведением вертикальных отрезков прямых (рис. 29, в).

Рис. 29. Деление окружности на шесть равных частей: а. б, в — с помощью угольника и линейки; г, д — циркулем

Эту же задачу можно решить с помощью циркуля. Из противоположных концов одного из диаметров радиусом R окружности (например, точек 1 и 4, рис. 29, г, д) проводят дуги. Точки пересечения этих дуг с окружностью — точки 2, 3, 5, 6 вместе с точками 1 и 4 делят окружность на шесть равных частей.

Деление окружности на восемь равных частей. Первые четыре точки деления 1, 3, 5, 7 находятся на пересечении центровых линий с окружностью (рис. 30). Их проводят с помощью линейки и угольника. Еще четыре точки — 2, 4, 6, 8 находят с помощью гипотенузы равнобедренного угольника, которая проходит через центр окружности.

Рис. 30. Деление окружности на восемь равных частей с помощью угольника и линейки

ВОПРОСЫ

• 1. На сколько равных частей можно поделить окружность с помощью линейки и угольников?
• 2. Каким угольником следует воспользоваться для деления окружности на три равные части? на шесть частей? на восемь частей?
• 3. На сколько равных частей можно поделить окружность с помощью циркуля?
• 4. Чему равен радиус циркуля при делении окружности на три равные части? на шесть равных частей?

ЗАДАНИЕ

• 1. Постройте квадрат со стороной 50 мм. Проведите в нем вертикальные параллельные линии на расстоянии 5 мм друг от друга.
• 2. Постройте равносторонний треугольник со стороной 60 мм. Проведите в нем наклонные линии, параллельные боковой стороне, на расстоянии 8 мм друг от друга.
• 3. Постройте вписанный равносторонний треугольник в окружность диаметром 50 мм, вершина которого лежит на центровой горизонтальной линии по правую сторону от центра окружности.
• 4. Постройте правильный шестиугольник, вписанный в окружность диаметром 60 мм, две противоположные вершины которого лежат на центровой вертикальной линии.