Фізика. 7 клас. Головко

§ 4. Точність вимірювань. Запис великих і малих чисел

• Похибки й оцінювання точності вимірювань
• Стандартний запис числа

Похибки й оцінювання точності вимірювань. Одні й ті самі фізичні величини можна вимірювати різними приладами. Наприклад, довжину бруска можна виміряти двома лінійками (рис. 1.30). Довжина бруска, виміряна першою лінійкою, становить приблизно 5 см (рис. 1.30, а). За шкалою другої лінійки видно, що довжина бруска становить 4,9 см (рис. 1.30, б). Очевидно, що вимірювання другою лінійкою виконано більш точно.

Кажуть, що вимірювання першою лінійкою виконані з точністю до 0,5 см, а другою - до 0,1 см.

Рис. 1.30. Вимірювання довжини бруска лінійками, шкали яких мають різну ціну поділки

Ще точніший результат можна отримати, якщо взяти вимірювальний прилад з меншою ціною поділки (наприклад, 0,001 см).

Таким чином, будь-яку фізичну величину не можна виміряти абсолютно точно (знайти її істинне значення). У процесі вимірювань виникають неточності, зумовлені різними причинами (особливостями будови приладу та градуювання його шкали, методикою проведення вимірювань, індивідуальними особливостями людини, яка вимірює, наприклад, вадами зору).

Такі неточності називають похибками. Похибки визначають спеціальними методами і враховують при записі результату вимірювань. Для простих вимірювальних приладів (лінійка, мірна стрічка, мірний циліндр, секундомір) найбільша похибка правильно виконаного вимірювання становить половину ціни найменшої поділки. Цю похибку ще називають абсолютною похибкою засобу вимірювань й при її записі перед позначенням фізичної величини ставлять велику грецьку літеру Δ (дельта).

Абсолютна похибка засобу вимірювань - різниця між показом засобу вимірювань та істинним значенням вимірювальної величини за відсутності похибок проведення вимірювання.

Якщо позначити через l істинне значення довжини бруска, l_в - результат вимірювання, то значення величини, одержане в результаті вимірювання записують у вигляді:

l = l_в ± Δl.

Коли значення величини з урахуванням похибки, її числове значення разом з абсолютною похибкою слід брати у дужки, а позначення одиниці розташовувати після дужок. Якщо ж дужки не застосовуються, то слід розташовувати позначення одиниці як після числового значення виміряної величини, так і після числового значення абсолютної похибки.

Істинне значення при другому вимірюванні знаходиться в інтервалі від 4,85 см до 4,95 см. При другому вимірюванні інтервал можливих значень довжин менший (0,1 см, на відміну від 0,5 см для першого вимірювання). Друге вимірювання виконано з меншою абсолютною похибкою і є більш точним.

Під час виконання лабораторних робіт потрібно враховувати ціну поділки шкали вимірювального приладу. Доцільно записувати кінцевий результат з урахуванням абсолютної поділки, яка визначає інтервал, в якому є істинне значення виміряної фізичної величини.

Похибку вимірювання можна виразити у відсотках відносно числового значення вимірюваної величини. Для цього потрібно визначити відношення абсолютної похибки до вимірюваної величини і знайдене число помножити на 100 %:

Відносна похибка вимірювання - відношення абсолютної похибки до умовно істинного значення вимірюваної величини.

Для першого вимірювання відносна похибка вимірювань

Для більш точного визначення фізичної величини вимірювання виконують кілька разів (3-5) і знаходять середнє значення вимірюваної величини за формулою:

де a_c - обчислене середнє значення величини; a₁, a₂, ..., a_n - значення окремих вимірювань; n - число вимірювань.

Стандартний запис числа. У процесі вимірювання фізичні величини виражають числами. Значення вимірюваних величин можуть значно відрізнятися між собою і виражатися відповідно дуже малими або дуже великими числами. Наприклад, відстань від Землі до Сонця дорівнює 150 000 000 км, швидкість поширення світла 300 000 км/с або 300 000 000 м/с. Поряд з цим при вивченні будови речовини користуються дуже малими величинами. Так, розмір молекули водню дорівнює 0,000000023 см. Або ще приклад: розміри різних тіл лежать у межах від розмірів атомів до розмірів спостережуваної частини Всесвіту й відрізняються (важко уявити!) в 1000 000 000 000 000 000... разів! (треба написати 60 нулів після «1»!)

Постає питання: як краще записувати відносно малі та відносно великі числа, щоб їх легко було зчитувати, оперувати ними - додавати, віднімати, множити, ділити.

Найзручніший спосіб скорочення запису великих і малих чисел - використання множника 10 у відповідному степені. Наприклад, число 5000 можна записати як 5 • 10³. Степінь десяти (в даному випадку «3») показує, скільки нулів треба приписати праворуч, за першим співмножником (у даному випадку «5»), щоб одержати дане число. Таку операцію називають записом числа в стандартному вигляді. Отже, число подають у вигляді двох співмножників: перший - число з однією значущою цифрою перед комою, другий - число 10 у відповідному степені.

Наприклад, швидкість світла 300 000 км/с можна записати як 3 • 10⁵ км/с або 3 • 10⁸ м/с. Якщо число має не одну значущу цифру, а більше, то й тоді його теж можна записати у стандартному вигляді. Наприклад, відстань від Землі до Сонця 150 000 000 км можна записати як 1,5 • 10⁸ км = 1,5 • 10¹¹ м. Щоб записати це число у розгорнутому вигляді (не вводячи 10¹¹), треба кому пересунути праворуч відповідно на 11 знаків.

Ще приклад: записати число 37 400 у стандартному вигляді: 37 400 = 3,74 • 10⁴. Як бачите, відразу після першої значущої цифри (3) ставлять кому, інші значущі цифри (7 і 4) записують після коми, степінь десяти (4) визначає кількість цифр після першої значущої цифри (3), включаючи значущі цифри (7 і 4) і нулі.

При розгортанні числа зі стандартного запису до звичайного, наприклад 5,6 • 10⁵, відраховують цифри у кількості 5 (показник степеня 10) відразу після коми, спочатку записують значущі цифри 6 та 1, а цифри, яких не вистачає, замінюють нулями: 561000.

У всіх розглянутих випадках показник степеня, що є натуральним числом, показує скільки разів треба помножити число 10 само на себе, щоб одержати шукане число:

Наприклад, 10³ = 10 • 10 • 10 = 1000; 10⁶ = 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 = 1 000 000 тощо.

Арифметичні дії з числами, вираженими у стандартному вигляді.

Зі степенями числа 10, коли показником є натуральне число, можна виконувати арифметичні дії множення та ділення:

10^m • 10ⁿ = 10^m+n;

10^m : 10ⁿ =10^m-n (при m > n).

Як записувати у стандартному вигляді малі та дуже малі числа? Можна скористатися тим, що десяткові дроби типу 0,1: 0,01; 0,001; 0,0001 можна записати у вигляді степеня числа 10, показником якого є від’ємне ціле число. Для цього користуються такими записами:

Аналогічно розмір молекули водню можна записати так:

Щоб записати це число, не вводячи степінь 10^-8, слід кому перенести на 8 знаків ліворуч, починаючи рахунок цифр з першої цифри (2). Зверніть увагу: у випадку малих чисел нулі треба ставити не праворуч (як у випадку великих чисел), а ліворуч від значущої цифри.

Ще приклади: записати у стандартному вигляді:

• а) діаметр червоних кров’яних тілець (еритроцитів), що входять до складу крові:

0,0000075 м = 7,5 • 10^-6 м = 7,5 • 10^-4 см.

• б) масу вірусу грипу:

0,0000000000000000006 кг = 6,0 • 10^-19 кг.

Схематично і наочно правило відрахунку цифр після коми показано на рис. 1.31.

Рис. 1.31. Запис великих та малих чисел

Підіб’ємо деякі підсумки стосовно запису великих і малих чисел у стандартному вигляді. Під стандартним виглядом запису числа розуміють запис виду х = а • 10ⁿ, де х - число, яке записують у стандартному вигляді, 1 ≤ а ≤ 10, n - довільне число (додатне, від’ємне або нуль). При цьому розуміють, що 10⁰= 1.

Використання від’ємного та нульового показників степеня дає змогу узагальнити (поширити) правила множення і ділення степенів числа 10, а саме: 10^m • 10ⁿ = 10^m+n, 10^m : 10ⁿ = 10^m-n для будь-яких цілих показників степенів m і n.

У фізиці та астрономії саме так записують значення багатьох фізичних величин. Це не тільки зручніше, а й допомагає краще оцінювати точність вимірювань.

Головне у цьому параграфі

Для простих вимірювальних приладів найбільша похибка правильно виконаного вимірювання становить половину ціни найменшої поділки.

Коли зазначається значення величини з урахуванням похибки, її числове значення разом з абсолютною похибкою слід брати у дужки, а позначення одиниці розташовувати після дужок. Якщо ж дужки не застосовуються, то слід розташовувати позначення одиниці як після значення числового значення виміряної величини, так і після числового значення абсолютної похибки.

Під стандартним виглядом запису числа розуміють запис виду х = а • 10ⁿ, де х - число, яке записують у стандартному вигляді, 1 ≤ a ≤ 10, а n - довільне число (додатне, від’ємне або нуль). При цьому розуміють, що 10⁰ = 1.

Запитання для самоперевірки

• 1. Що таке точність фізичних вимірювань?
• 2. Як пов’язана точність вимірювань з ціною поділки шкали вимірювального приладу?
• 3. Що таке стандартний запис числа? Наведіть приклади.
• 4. Як помножити два числа, записані у стандартному вигляді?

Вправа 3

• 1. Запишіть у стандартному вигляді такі числа: 2800, 146200000; 0,0347; 0,0000000094.
• 2. Довжина стола 80 см. Запишіть це число в міліметрах, метрах, дециметрах у стандартному вигляді.
• 3. Доба має 24 год. Визначте число секунд у добі та запишіть це число у стандартному вигляді з точністю до трьох значущих цифр.