Физика. 9 класс. Барьяхтар

§ 29. Перемещение при равноускоренном прямолинейном движении. Уравнение координаты

Когда на дороге происходит авария, специалисты измеряют тормозной путь. Зачем? Чтобы определить скорость движения автомобиля в начале торможения и ускорение при торможении. Все это нужно для выяснения причин аварии: или водитель превысил скорость, или были неисправны тормоза, или с автомобилем все в порядке, а виноват нарушивший правила дорожного движения пешеход. Как, зная время торможения и тормозной путь, определить скорость и ускорение движения тела?

1. Узнаём о геометрическом смысле проекции перемещения

В 7 классе вы узнали, что для любого движения путь численно равен площади фигуры под графиком зависимости модуля скорости движения от времени наблюдения. Аналогичная ситуация и с определением проекции перемещения (рис. 29.1).

Рис. 29.1. Геометрический смысл перемещения: проекция перемещения численно равна площади фигуры, ограниченной графиком осью времени и прямыми t = t₁ и t = t₂. s_х > 0, если полученная фигура расположена над осью времени (а); s_х < 0, если полученная фигура расположена под осью времени (б)

Получим формулу для вычисления проекции перемещения тела за интервал времени от t₁ = 0 до t₂ = t. Рассмотрим равноускоренное прямолинейное движение, при котором начальная скорость и ускорение имеют одинаковое направление с осью ОХ. В этом случае график проекции скорости имеет вид, представленный на рис. 29.2, а проекция перемещения численно равна площади трапеции ОАВС:

Рис. 29.2. К выведению формулы проекции перемещения

На графике отрезок ОА соответствует проекции начальной скорости v_0x, отрезок ВС — проекции конечной скорости ν_x, а отрезок ОС — интервалу времени t. Заменив данные отрезки соответствующими физическими величинами и учитывая, что s_x = S_OABC, получим формулу для определения проекции перемещения:

Формулу (1) применяют для описания любого равноускоренного прямолинейного движения.

• Определите перемещение тела, график движения которого представлен на рис. 29.1, б, за 2 с и за 4 с после начала отсчета времени. Поясните ответ.

2. Записываем уравнение проекции перемещения

Исключим переменную ν_x из формулы (1). Для этого вспомним, что при равноускоренном прямолинейном движении ν_x = ν_0х + a_xt. Подставив выражение для v_xв формулу (1), получим:

Таким образом, для равноускоренного прямолинейного движения получено уравнение проекции перемещения:

Поскольку величины v_0x и а_х не зависят от времени наблюдения, зависимость s_x(t) является квадратичной. Например, если v_0x = 2 м/с, а а_х = -1 м/с², то уравнение s_x(t) будет иметь вид: s_x = 2t - 0,5t².

Итак, график проекции перемещения при равноускоренном прямолинейном движении — парабола (рис. 29.3), вершина которой соответствует точке разворота:

где t — время движения тела до разворота.

Рис. 29.3. График проекции перемещения при равноускоренном прямолинейном движении — парабола, проходящая через начало координат: если а_х > 0, ветви параболы направлены вверх (а); если а_х < 0, ветви параболы направлены вниз (б)

Формулой (3) удобно пользоваться, если в условии задачи не идет речь о времени движения тела и не нужно его определять.

• Выведите формулу (3) самостоятельно.

3. Записываем уравнение координаты

Одна из основных задач механики — определение положения тела (координат тела) в любой момент времени. Мы рассматриваем прямолинейное движение, поэтому достаточно выбрать одну ось координат (например, ось ОХ), которую следует направить вдоль движения тела (рис. 29.4). Из данного рисунка видим, что независимо от направления движения координату х тела можно определить по формуле:

x = x₀ + s_x,

где х₀ — начальная координата (координата тела в момент начала наблюдения); s_х — проекция перемещения.

Рис. 29.4. Выбор оси координат в случае прямолинейного движения

Проанализировав последнее уравнение, делаем вывод, что зависимость x(t) — квадратичная, поэтому график координаты — парабола (рис. 29.5).

Рис. 29.5. При равноускоренном прямолинейном движении график зависимости координаты от времени — парабола, пересекающая ось х в точке х₀

4. Учимся решать задачи

Основные этапы решения задач на равноускоренное прямолинейное движение рассмотрим на примерах.

Подводим итоги

Контрольные вопросы

1. С помощью каких формул можно найти проекцию перемещения s_х для равноускоренного прямолинейного движения? Выведите эти формулы. 2. Докажите, что график зависимости перемещения тела от времени наблюдения — парабола. Как направлены ее ветви? Какому моменту движения соответствует вершина параболы? 3. Запишите уравнение координаты для равноускоренного прямолинейного движения. Какие физические величины связывает это уравнение?

Упражнение № 29

1. Лыжник, движущийся со скоростью 1 м/с, начинает спускаться с горы. Определите длину спуска, если лыжник проехал его за 10 с. Считайте, что ускорение лыжника было неизменным и составляло 0,5 м/с².

2. Пассажирский поезд изменил свою скорость от 54 км/ч до 5 м/с. Определите расстояние, которое проехал поезд во время торможения, если ускорение поезда было неизменным и составляло 1 м/с².

3. Тормоза легкового автомобиля исправны, если при скорости 8 м/с его тормозной путь — 7,2 м. Определите время торможения и ускорение автомобиля.

4. Уравнения координат двух тел, движущихся вдоль оси ОХ, имеют вид: x₁ = 8 - 2t + t²; х₂ = -2 - 5t + 2t².

• 1) Для каждого тела определите: а) характер движения; б) начальную координату; в) модуль и направление начальной скорости; г) ускорение.
• 2) Найдите время и координату встречи тел.
• 3) Для каждого тела запишите уравнения v_x(t) и s_x(t), постройте графики проекций скорости и перемещения.

5. На рис. 1 представлен график проекции скорости движения для некоторого тела. Определите путь и перемещение тела за 4 с от начала отсчета времени. Запишите уравнение координаты, если в момент времени t = 0 тело было в точке с координатой -20 м.

Рис. 1

6. Два автомобиля начали движение из одного пункта в одном направлении, причем второй автомобиль выехал на 20 с позже. Оба автомобиля движутся равноускоренно с ускорением 0,4 м/с². Через какой интервал времени после начала движения первого автомобиля расстояние между автомобилями будет 240 м?

7. На рис. 2 представлен график зависимости координаты тела от времени его движения. Запишите уравнение координаты, если известно, что модуль ускорения 1,6 м/с².

Рис. 2

8. Эскалатор в метро поднимается со скоростью 2,5 м/с. Может ли человек на эскалаторе находиться в состоянии покоя в системе отсчета, связанной с Землей? Если может, то при каких условиях? Можно ли при этих условиях движение человека считать движением по инерции? Обоснуйте свой ответ.