Додаток 2

ПОХИБКИ ВИМІРЮВАНЬ

1. Випадкові і систематичні похибки

Різницю між виміряним та істинним значеннями вимірюваної величини називають похибкою вимірювання.

Похибки при вимірюваннях фізичних величин поділяють на два види: випадкові і систематичні.

Випадкові похибки пов’язані з процесом вимірювання.

Найбільш імовірне значення вимірюваної величини (х_вимір) дорівнює середньому арифметичному значень, отриманих у результаті вимірювань:

де N — кількість вимірювань величини х; x₁, х₂, ..., x_N — результати 1-го, 2-го, ..., Ν-го вимірювань.

Випадкову абсолютну похибку (Δхвип) обчислюють за формулою:

Якщо вимірювання проводять тільки один раз, то зазвичай вважають, що випадкова абсолютна похибка дорівнює половині ціни поділки шкали приладу.

Систематичні похибки визначаються якістю приладу — його класом, тому їх часто називають похибками приладу або інструментальними похибками.

Абсолютні інструментальні похибки деяких приладів наведено в таблиці.

№	Засіб вимірювання	Ціна поділки шкали	Абсолютна інструментальна похибка
1	Лінійка учнівська (демонстраційна)	1 мм (1 см)	±1 мм (±0,5 см)
2	Стрічка вимірювальна	0,5 см	±0,5 см
3	Штангенциркуль	0,1 мм	±0,05 мм
4	Мікрометр	0,01 мм	±0,005 мм
5	Секундомір	0,2 с	±1 с за 30 хв
6	Терези навчальні	—	±0,01 г
7	Динамометр навчальний	0,1 н	±0,05 Н
8	Термометр лабораторний	1 °С	±1 °С
9	Амперметр шкільний	0,1 А	±0,05 А
10	Вольтметр шкільний	0,2 В	±0,15 В

2. Визначення абсолютної та відносної похибок прямих вимірювань

Щоб правильно оцінити точність експерименту, необхідно врахувати як систематичну похибку, зумовлену приладом (△х_прил), так і випадкову похибку (△х_вип), пов’язану з похибками вимірювань. Сумарну похибку називають абсолютною похибкою вимірювання (△х) і визначають за формулою:

△х = △х_прил + △х_вип.

Відносна похибка ε_х характеризує якість вимірювання і дорівнює відношенню абсолютної похибки (Δх) до середнього (виміряного) значення вимірюваної величини (х_вимір):

Іноді здійснюють експеримент із метою встановити правильність деякої рівності (наприклад, X = Υ). Якщо в такому експерименті важко визначити похибку, то відносну похибку експериментального підтвердження рівності X = Υ обчислюють за формулою:

3. Як правильно записати результат вимірювання

Абсолютна похибка вимірювання визначає точність, з якою доцільно виконувати обчислення вимірюваної величини.

Абсолютну похибку завжди округлюють до однієї значущої цифри із завищенням, а результат вимірювання округлюють до величини розряду, що залишився в абсолютній похибці після округлення.

Остаточний результат для значення величини х записують у вигляді:

х = х_вим_ір ± Δх,

де х_вимір— середнє (виміряне) значення.

Ця формула означає, що істинне значення вимірюваної величини міститься в інтервалі між х = х_вимір- Δх і х = х_вимір+ Δх (рис. 1). Абсолютну похибку Δх прийнято вважати додатною величиною, тому х = х_вимір + Δх — найбільше ймовірне значення вимірюваної величини, а х = х_вимір - Δх — найменше ймовірне значення вимірюваної величини.

Рис. 1

Наведемо приклад. Було виміряно прискорення вільного падіння g. У результаті опрацювання отриманих експериментальних даних було знайдено середнє значення: g_вимір = 9,736 м/с². Для абсолютної похибки було отримано: Δg = 0,123 м/с². Абсолютну похибку потрібно округлити до однієї значущої цифри із завищенням: Δg = 0,2 м/с². Тоді результат вимірювання округлюється до того самого розряду, що й розряд похибки, тобто до десятих: gвимір = 9,7 м/с².

Відповідь за підсумками експерименту слід подати в такому вигляді: g = (9,7 ± 0,2) м/с², при цьому істинне значення прискорення вільного падіння міститься в інтервалі [9,5; 9,9] м/с² (рис. 2). Оскільки табличне значення прискорення вільного падіння (g_табл = 9,8 м/с²) належить цьому інтервалу, то кажуть, що отримані результати збіглися з табличними в межах похибки вимірювань.

Рис. 2

4. Графічний метод опрацювання результатів

F_пруж, Н	0,0	0,4	0,8	1,2	1,6	2,0	2,4	2,8
х, М	0,0	0,022	0,040	0,068	0,090	0,101	0,123	0,150

Побудуємо графік, відклавши по осі ординат значення сили пружності, а по осі абсцис — відповідні їм значення видовження пружини (рис. 3). Позначимо хрестиками наведені в таблиці експериментальні дані.

Оскільки коефіцієнт жорсткості не залежить від видовження пружини, графік залежності F_пружвід х повинен мати вигляд прямої лінії, що проходить через початок координат. Проведемо цю пряму так, щоб з обох боків від неї була приблизно однакова кількість хрестиків. Вибравши на графіку довільну точку й знайшовши для неї відповідні значення F_пруж і х, визначимо середнє значення жорсткості:

Таким чином, побудова графіка дозволила, використавши всі наявні експериментальні дані, знайти середнє значення жорсткості пружини без складних обчислень.

За графіком, побудованим за результатами вимірювань, можна оцінити випадкову похибку цих вимірювань. Наприклад, якщо отримана за результатами експерименту пряма проходить через початок координат (як графік F_пруж (х)), необхідно виконати такі дії.

1. Провести допоміжні лінії-графіки так, щоб вони пройшли через ті експериментальні точки, які задають максимальний і мінімальний кути нахилу графіка (на рис. 3 ці лінії-графіки подано синім).