ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас

Додаткові задачі до розділу II

Нехай △АВС ∠А = 90°, AD — висота. За умовою АС = 6, BD = 5. За метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику маємо: АС2 = ВС • DC. Нехай DC = х, тоді ВС = BD + DC = 5 + х; 62 = (5 + х)х; х2 + 5х - 36 = 0; х2 + 5х - 30 = 0; D = 52 + 4 • 36 = 25 + 144 = 169; х1 = 4, х2 = -9 — не задовольняє умову. Отже, DC = 4, а ВС = 5 + 4 = 9.

Нехай у △АВС АВ = ВС, BD — медіана. За умовою РABC = 16, тому 2(ВС + DC) = 16; ВС + DC = 8. Нехай ВС = х, тоді DC = 8 - х. За властивістю медіани рівнобедреного трикутника, що проведена до основи, ∠BDC = 90°, тому за теоремою Піфагора з △ВDС: ВС2 = BD2 + DC2; х2 = 42 + (8 - х)2; х2 = 16 + 64 - 16х + х2; 16х = 80; х = 5. Тому АВ = ВС = 5 см, АС = 2 • DC = 2 • (8 - 5) = 6 см.

Нехай АВС — даний трикутник (∠A = 90°), АН — висота.

За метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику маємо: АН2 = СН • ВН. Нехай СН = х, тоді ВН =

486. Нехай АВС — даний трикутник.

Нехай х — коефіцієнт пропорційності, тоді ВС = 4х, АВ = 5х.

РABC = АВ + ВС + АС = 27 см; 5х + 4х + 5 + 4 = 27; 9х = 18; х = 2. ВС = 4 • 2 = 8 см, АВ = 5 • 2 = 10 см, AC = AD + DC = 5 + 4 = 9 см.

Нехай ABCD — дана трапеція (АВ = CD). Оскільки в трапецію вписано коло, то AB + CD = BC + AD.

Оскільки PABCD = 1 м = 100 см, АВ = CD = 100 : 2 : 2 = 25 см. Проведемо CH ⟂ AD, HD = 14 : 2 = 7 см. За теоремою Піфагора з △CHD; CH2 + HD2 = CD2; CH2 = CD2 - HD2 = 252 - 72 = 625 - 49 = 576; CH = 24,

M є AB, MB = MC = 25 cм, AB = 32 cм. AM = AB - MB = 32 - 25 = 7 (cм). За теоремою Піфагора з △MAC: MC2 = AM2 + AC2; AC2 = MC2 - AM2 = 252 - 72 = 625 - 49 = 576; AC = 24 cм.

З △BAC: ВС2 = AB2 + AC2 = 322 + 242 = 10124 + 576 = 1600; DC = 40 cм. PABC = AB + BC + AC = 32 + 40 + 40 + 24 = 96 (cм).

489. Оскільки трикутник з катетами а і b та гіпотенузою с подібний трикутнику з катетами а1, b1 та гіпотенузою с1, то a1 = ka; b1 = kb; c1 = kc, k — коефіцієнт подібності, тоді aa1 + bb2 = a • ka + b • kb = k(a2 + b2), але за теоремою Піфагора а2 + b2 = с2, тому аа1 + bb2 = k(a2 + b2) = kc2 = cc1.