ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас

Нехай АВС — даний трикутник (АВ = АС) АН ⟂ ВС.

АВ = ВС = ВН + НС = 12 + 1 = 13 см.

З △АНВ за теоремою Піфагора: АВ2 = ВН2 + АН2; АН2 = АВ2 - ВН2 - 132 - 122 = 169 - 144 = 25; АН = 5 см.

З △АНС за теоремою Піфагора АС2 = АН2 + НС2; АС2 = 52 + 12 = 25 + 1 = 26; АС = √26 см.

АВС — даний трикутник, AC = 15 см, АВ = 20 см, ВС = 25 см.

Оскільки 152 + 202 = 225 + 400 = 625 = 252, то за теоремою, оберненою до теореми Піфагора, ∠A = 90°.

Отже, найбільша сторона цього трикутника є гіпотенузою ВС.

443. Перевіримо, чи задовольняють теорему Піфагора числа 2mn, m2 - n2, m2 + n2.

(m2 - n2)2 + (2mn)2 = m4 - 2m2n2 + n4 + 4m2n2 = m4 + 2m2n2 + n4 = (m2 + n2)2.

Одна сторона — АВ, а друга — CD. Тоді ABCD — прямокутна трапеція з основами 21 м і 28 м і висотою 24 м. Проведемо CH ⟂ АВ. ВН = АВ - CD = 28 - 21 = 7 м. З △ВНС за теоремою Піфагора: ВС2 = ВН2 + НС2 = 72 + 242 = 49 + 576 = 625; ВС = 25 м.

446. З точки А до прямої l проведемо перпендикуляр АН і похилі АВ i АС.

За теоремою Піфагора АВ2 = АН2 + НВ2; НВ2 = АВ2 - АН2 = 102 - 82 = 100 - 64 = 36; НВ = 6 см. АС2 = АН2 + НС2; НС2 = АС2 - АН2 = 172 - 82 = 289 - 64 = 225; НС = 15 см.

Якщо похилі АВ і АС1 розташовані по один бік від АН, то ВС1 = НС1 - НВ = 15 - 6 = 9 см.

Якщо похилі АВ і АС2 розташовані по різні боки від АН, то ВС2 = НВ + НС2 = 6 + 15 = 21 см.

Нехай ABC — даний трикутник, АС — його найбільша сторона, BD ⟂ АС.

З △ADB за теоремою Піфагора: АВ2 = BD2 + AD2 і BD2 = АВ2 - AD2.

З △BDC за теоремою Піфагора: ВС2 = BD2 + DC2 і BD2 = ВС2 - DC2.

Звідси маємо: АВ2 - AD2 = ВС2 - DC2.

а) АВ = 15, ВС = 41, АС = 42, АС — х, тоді DC = (52 - х).

152 - с2 = 412 = (52 - х)2; 225 - х2 = 1681 - 2704 + 104х - х2; 104х = 1248; х = 12; BD2 = 152 - 122 = 225 - 144 = 81; BD = 9.

б) АВ = 10, ВС = 17 см, АС = 21, AD = х, DС = 21 - х. 102 - х2 = 172 - (21 - х)2; 100 - х2 = 289 - 441 + 42х - х2; 42х = 252; х = 6; ВD2 = 102 - 62 = 100 - 36 = 64; BD = 8.

Нехай АН — перпендикуляр до l, а АВ і АС — похилі. Нехай АС = х см, тоді АВ = (х + 8) см, НС = 8 см, ВН = 20 см. АВ > АС; ВН > НС.

За теоремою Піфагора маємо: АВ2 = ВН2 + АН2; АС2 = НС2 + АН2.

Знайдемо різницю АВ2 - АС2.

Маємо: АВ2 - АС2 = ВН2 - НС2. (х + 8)2 - х2 = 202 - 82; х2 + 16х + 64 - х2 = 400 - 64; 16х = 272; х = 17.

Отже, АС= 17 см, АH2 = АС2 - НС2 = 172 - 82 = 289 - 64 = 225, АН = 15 см.