ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас
Нехай ABCD — довільний чотирикутник . АС ⟂ BD. М — середина АВ, MN ⟂ CD, F — середина АВ, FE ⟂ ВС.
Позначимо K — середину АС, тоді МК — середня лінія △BAC і МК ∥ ВС; FE ⟂ МК. KF — середня лінія △DAC і KF ∥ DC; MN ⟂ KF. MF — середня лінія △ABD і MF ∥ BD; MF ⟂ AC.
За теоремою про точку перетину висот трикутника вони всі перетинаються в одній точці, отже, О є АС.
313. Нехай через т. О проведені три прямі m, n, l так, що кут між будь-якими двома з них дорівнює 60°.
Точка М — довільна точка площини. МН1 ⟂ m, МН2 ⟂ l, МН3 ⟂ n.
Навколо чотирикутника ОН1МН2 можна описати коло (∠OH2М + ∠MH1O = 90° + 90° = 180°). Це коло також є описаним навколо △ОМН1. Навколо чотирикутника ОН3МН1 можна описати коло (∠ОН3М + ∠МН1О = 90° + 90° = 180°). Це коло теж є описаним навколо △ОМН1. Оскільки навколо трикутника можна описати єдине коло, то точки О, Н3, Н2, Н1 належать цьому колу. Отже, ∠Н3Н1Н2 = ∠Н3ОН2 = 60° (спираються на одну дугу), ∠Н2Н3Н1 = ∠H2OH1 = 60° (спираються на одну дугу). Якщо в △Н1Н2Н3 два кути дорівнюють по 60°, то і третій кут теж дорівнює 60°. Отже, △Н1Н2Н3 — рівносторонній.
314. Нехай АВ і АС — відрізки дотичних до кола з центром О.
Розглянемо △АВО і △АСО:
1. ∠ABO = ∠ACO = 90° (властивість дотичної).
2. OB = OC = R.
3. АО — спільна; △АВО = △АСО за катетом і гіпотенузою; АВ = АС, ∠ВАО = ∠CAO; АО ⟂ ВС. Позначимо ???, a O1 — точку перетину АО і кола з центром О і R = ОВ. Позначимо ∠BOC = 2α, тоді
Нехай ABCD — дана трапеція (АВ = ВС = CD). За умовою ∠ABD = 90°.
Розглянемо △BCD: ВС = CD; ∠CBD = ∠CDB, але ∠CBD = ∠ADB (внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС і січній BD). Позначимо ∠CBD = х, тоді ∠ADC = 2х, a ∠ABC = 90° + х; ∠BCD = 90° + х. За властивістю кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, ∠BCD + ∠CDA = 180°. Отже, 90° + х + 2х = 180°; 3х = 90°; х = 30°. Маємо: ∠ADC = 2 • 30° = 60°, ∠BCD = 90° + 30° = 120°.
Відповідь: 60°, 120°.
316. Нехай АВС — даний гострокутний трикутник. ВМ ⟂ АВ, СМ ⟂ АС. Розглянемо чотирикутник АВМС: ∠АВМ + ∠АСМ = 180°, отже, навколо ABMC можна описати коло, але існує тільки єдине коло, якому належать точки А, В і С (коло, описане навколо △АВС); М належить цьому колу.
317. а) Нехай ABCD — дана трапеція (∠A + ∠D = 90°).
Обернене твердження: Якщо відрізок, що сполучає середини основ трапеції дорівнює їх піврізниці, то сума кутів при основі трапеції дорівнює 90°.