Завдання 731-740 - ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 7 клас

ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 7 клас

731. Нехай дано коло з центром О, а і b — деякі дотичні, АО ⟂ а, ОВ ⟂ b — відстані від центра до дотичних. Радіуси, проведені в точку дотику, перпендикулярні дотичним. Тоді ОА = ОВ (як радіуси кола).

Якщо катет дорівнює половині гіпотенузи, то він лежить проти кута 30°, отже, ∠МАО = 30°. △ОКА = △ОМА за катетом і гіпотенузою. ∠ОАК = 30°, тоді ∠МАК = 30° + 30° = 60°.

733. Нехай а ∥ АС, ВD ⟂ а (дотична перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику). Оскільки а ∥ АС, ВD ⟂ а, то

BD ⟂ AC. За властивістю хорд D — середина АС. Тоді відрізок BD є одночасно медіаною і висотою трикутника ABC. Отже, трикутник рівнобедрений з основою АС.

734. Нехай а — дана дотична за властивістю хорди, АВ ⟂ CO. За властивістю дотичної ОС ⟂ а, тоді АВ ⟂ а.

735. Нехай дано коло з центром О, ∠A — даний кут, АО — бісектриса кута. В, С, D, Е — точки перетину сторін кута з колом. Розглянемо △АВО та △АDО. ∠ВАО = ∠DAO за умовою, OB = OD — радіуси, АО — спільна сторона △АВО = △АDО, тоді АВ = AD. Аналогічно △АСО = △АEО, тоді АС = АЕ, ВС = АС - АВ, DE = АE - АD, тоді BC = DE.

736. За властивістю відрізків дотичних МК = ME. Тоді △КМЕ — рівнобедрений, МА — його медіана, бісектриса, висота, тоді ∠КМЕ = 60° і △МКЕ — рівносторонній, КЕ = МК = 6 см.

737. Нехай AB ⟂ CD — дані хорди.

АВ ⌒ CD = Е, АЕ = BE. За умовою DE — медіана і висота трикутника АВD. Отже, вона є і його бісектрисою і △АВD — рівнобедрений з основою АВ. Оскільки центр кола лежить на перетині бісектрис трикутника, то точка О лежить на CD, отже, CD є діаметром кола.

738. ∠CAO = ∠DBO — як внутрішні різносторонні при AC ∥ BD і січній АВ.

△АОС — рівнобедрений (АО = ОС), тоді ∠А = ∠C = α, ∠DOB — рівнобедрений (DО = OB), ∠D = ∠В = α, ∠AOD — зовнішній кут трикутника. ∠AOD = 2α. Аналогічно ∠СОВ = 2α. За теоремою про суму кутів трикутника ∠DOB = 180° - 2α. ∠DOC = ∠DOB + ∠СОВ = 180° - 2α + 2α = 180°. Отже, △DOC — розгорнутий, DС — діаметр кола.

739. За теоремою про суму кутів трикутника ∠А = ∠С = (180° - 48°) : 2 = 66°. АО — бісектриса кута А. За властивістю дотичних ∠ОЕА = 90°, у △АОЕ: ∠АОЕ = 90° - 66° : 2 = 57°. ОА — бісектриса ∠EOD, тоді ∠EOD = 57° + 57° = 114°.