ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 7 клас

441. ВС = В₁С₁, ВН = В₁H₁. △ВНС = △В₁H₁С₁ (за катетом і гіпотенузою), тому ∠C = ∠С₁. Отже, △АВС = △А₁B₁С₁ за катетом і прилеглим гострим кутом.

442. ВС = В₁С₁, CL = C₁L₁. △LBC = △L₁B₁C₁ (за катетом і гіпотенузою), тому ∠LCB = ∠L₁C₁B₁. ∠АСВ = ∠А₁С₁В₁ — як суми рівних кутів. Отже, △АВС = △A₁B₁C₁ (за катетом і прилеглим гострим кутом).

443. BC = B₁C₁, CM = C₁M₁.

△CMВ = △C₁M₁B₁ (за катетом і гіпотенузою), тому ВМ = B₁M₁, AB = 2ВМ, A₁B₁ = 2B₁M₁, AB = A₁B₁. Отже, △АВС = △А₁B₁С₁ (за двома катетами).

444. △АВС = △А₁B₁С₁, BC = B₁C₁, △С = △C₁.

△ВНС = △В₁Н₁С₁ за гіпотенузою і гострим кутом), тому ВН = В₁Н₁.

445. АВ = А₁В₁, АЕ = А₁Е₁, BF = В₁F₁.

△ABF = △A₁B₁F₁ (за гіпотенузою і катетом), тому △A = △A₁.

△АВЕ = △А₁В₁Е₁ (за гіпотенузою і катетом), тому △B = △B₁.

Отже, △АВС = △A₁B₁C₁ (за стороною і двома прилеглими кутами).

△ВНМ = △В₁Н₁М₁ (за катетом і гіпотенузою), тому НМ = Н₁М₁. AH = AM - НМ = A₁M₁ - H₁M₁ = A₁H₁.

△АНВ = △A₁H₁B₁ (за двома катетами), тому АВ = A₁B₁. СН = СМ + МН = C₁M₁ + M₁H₁ = C₁H₁.

△СНВ = △С₁Н₁В₁ (за двома катетами), тому ВС = В₁С₁.

Отже, △АВС = △A₁B₁C₁ (за трьома сторонами: АВ = A₁B₁, ВС = В₁С₁, АС = А₁С₁).

447. AM = МВ, ВК = КС. ∠FMA = ∠ВМЕ як вертикальні кути.

△AFM = △ВЕМ (за гіпотенузою і гострим кутом), тому BE = AF. ∠ВКЕ = ∠СКР — як вертикальні кути.

△ВКЕ = △СКР (за гіпотенузою і гострим кутом), тому BE = СР.

Отже, BE = AF = СР.

448. BE = AF, ∠MBE = ∠FAM, тому △FAM = △EBM (за катетом і прилеглим гострим кутом), отже, AM = MB і М — середина сторони AB. BE = СР, ∠КВЕ = ∠КСР, тому △ВКЕ = △СКР (за катетом і прилеглим гострим кутом), отже, ВК = КС і К — середина сторони ВС.

449. СК ⟂ АВ, АМ ⟂ BC, KH ⟂ HM.

△АКН = △СМН (за катетом і прилеглим гострим кутом: КН = НМ за умовою, ∠КНА = ∠МНС — як вертикальні кути), тоді АН = СН. Отже, маємо: КС = AM — як сума рівних відрізків.

△АКС = △АMС (за гіпотенузою і катетом: КС = AM, AC — спільна), тому ∠А = ∠С. Отже, △АВС — рівнобедрений згідно з ознакою рівнобедреного трикутника.

450. ME ⟂ KN, NF ⟂ МК, ОМ = ON, MF = KE.

△MON — рівнобедрений, отже, ∠OMN = ∠ONM, △MFN = △NEM (за гіпотенузою і гострим кутом), тому EN = MF.