ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 7 клас
До § 23.
Оскільки центром кола, вписаногоу трикутник, є точка перетину бісектрис цього трикутника, то за допомогою транспортира побудуємо бісектриси кутів А і В. Проведемо OP ⟂ АВ — це і буде радіус вписаного кола. За допомогою циркуля вписуємо коло з центром у т. О радіусом ОР.
772. Будуємо бісектрису кута В. На сторонах кута відкладаємо відрізки BС = ВА = 2 см. З точок С і А за допомогою косинця будуємо перпендикуляри до перетину у точці О. За допомогою циркуля вписуємо коло з центром у т. О радіусом, який дорівнює ОА.
773. Нехай BD і СК — медіани, О — центр кола, вписаного в △АВС.
Оскільки О — точка перетину бісектрис, то BD і СК — бісектриси, медіани і висоти, а бісектриси, медіани і висоти співпадають тільки в рівносторонньому трикутнику. Отже, △АВС — рівносторонній.
Нехай △АВС — рівнобедрений (АВ = СВ), Е, F, D - точки дотику. За умовою ЕА : ЕВ = 2 : 3. Нехай ЕА = 2х, ЕВ = 3х. Враховуючи рівність відрізків дотичних, проведених з однієї точки до кола, маємо: P△АВС = AB + ВС + СА = (2х + 3х) + (3х + 2х) + (2х + 2х) = 14х. За умовою P = 70 см, отже, 14х = 70 см, х = 5 см. Тоді АВ = ВС = 2х + 3х = 5х = 5 • 5 = 25 (см), АС = 2х + 2х = 4х = 4 • 5 = 20 (см).
Відповідь: 25 см, 25 см, 20 см.
До § 24.
775. △АВC — прямокутний. О — центр кола — середина гіпотенузи.
Центр описаного кола лежить на серединних перпендикулярах до сторін трикутника. Нехай △АВС — рівнобедрений (АВ = ВС), BD ⟂ AC, тоді АD = DC, оскільки висота, проведена до основи є медіаною. Маємо BD ⟂ АС і AD = DC, отже, DB належить серединному перпендикуляру до основи АС.
Нехай △АВС — рівносторонній. Точка О — центр вписаного кола в рівносторонній трикутник, отже, точка О — точка перетину бісектрис трикутника ABC.
Оскільки в рівносторонньому трикутнику бісектриси с висотами і медіанами, то бісектриси лежать на серединних перпендикулярах до сторін трикутника, які перетинаються в т. О.
Отже, центр кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, збігається з центром кола, вписаного в цей трикутник.
До § 25.
778. 1) AВ = 4 см. Кола не перетинаються.
2) АВ = 4 см. Кола перетинаються.
Нехай СА = 3 см, АВ = 8 см, BD = 3 см. АО = АВ : 2 = 8 см : 2 = 4 см.
СО = СА + АО — 3 см + 4 см = 7 см.
Відповідь: 4 см, 7 см.
780. Нехай ОВ = 10х, ОА - 7х. АВ = ОВ - ОА = 10х - 7х = 3х. За умовою 3х = 12 см, х = 4 см. Тоді ОВ = 10 • 4 = 40 (см), ОА = 7 • 4 = 28 (см).
Відповідь: 40 см, 28 см.
