ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 7 клас

Нехай △АВС — прямокутний (∠C = 90°), ∠B = 60°, АВ = 20 см.

За властивістю суми кутів прямокутного трикутника ∠B + ∠A = 90°, звідси ∠A = 90° - ∠B = 90° - 60° = 30°.

Нехай К, L, M, N — точки дотику. Тоді за властивістю відрізків дотичних, проведених з однієї точки до кола, маємо: АК = AL, BL = ВМ, CM = CN, DN = DK. Додавши почленно чотири останні рівності, маємо: АК + ВМ + CM + DK = AL + BL + CN + DN; (AК + DK) + (BM + CM) = (AL + BL) + (CN + DN); AD + BC = AB + CD.

2(ш + дл) = 12; ш + дл = 6; (1)

2(ш + дл) = 13; ш₁ + дл = 6,5; (2)

2(ш + дл₁) = 16; ш + дл₁ = 8. (3)

Отримаємо: ш₁ - ш = 0,5. Додамо отримане рівняння з третім рівнянням, отримаємо ш + дл₁ = 0,5 + 8 = 8,5.

Отже, периметр зафарбованого прямокутника дорівнює 2 • 8,5 = 17 (см).

Відповідь: 17 см.