ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 7 клас

OK = 7 см, O₁K = 5 см.

OO₁ = ОК - О₁К = 7 см - 5 см = 2 см.

2) ОМ = 7 см, О₁М = 5 см, ОО₁ = ОМ + О₁М = 7 см + 5 см = 12 см.

ОМ = 3 см, O₁M — 8 см.

ОО₁ = О₁М + ОМ = 8 см + 3 см = 11 см.

ОМ = 8 см, О₁М = 3 см, ОО₁ = ОМ - О₁М = 8 см - 3 см = 5 см.

ОО₁ = 12 дм, O₁М : ОМ = 2 : 5.

Нехай О₁M = 2х, ОМ = 5х, тоді OO₁ = 5х - 2х = 3х; 3х = 12; х = 12 : 3 = 4. Отже, О₁M = 2 • 4 = 8 (дм), ОМ = 5 • 4 = 20 (дм).

Відповідь: 20 дм, 8 дм.

Нехай ОМ = 2х, O₁M = 3х. ОО₁ = ОМ + O₁M = 2х + 3х = 5х. За умовою OО₁ = 15 см. Отже, 5х = 15; х = 3. ОМ = 2 • 3 = 6 (см), О₁M = 3 • 3 = 9 (см).

Відповідь: 6 см, 9 см.

665. Позначимо відстань між центрами кіл О₁О₂, радіуси кіл r₁ і r₂.

1) Оскільки 9 cм + 3 см = 12 см, тобто О₁О₂ = r₁ + r₂, то кола дотикаються (зовнішній дотик кіл).

2) Оскільки 5 + 2 < 12, тобто О₁О₂ > r₁ + r₂, то кола не перетинаються.

3) Оскільки 13 см - 1 см = 12 см, тобто О₁О₂ = r₁ - r₂, то кола дотикаються (внутрішній дотик).

4) 9 см - 7 см < 12 см < 9 см + 7 см, тобто r₁ - r₂ < О₁О₂ < r₁ + r₂, то кола перетинаються.

666. Позначимо відстань між центрами кіл О₁О₂, а радіуси кіл r₁ і r₂.

1) 7 см + 5 см < 14 см, тобто О₁О₂ > r₁ + r₂. Отже, кола не перетинаються.

2) 16 см - 2 см = 14 см, тобто О₁О₂ = r₁ - r₂. Отже, кола мають внутрішній дотик.

3) 10 см - 5 см < 14 см < 10 см + 5 см, тобто r₁ - r₁ < О₁О₂ < r₁ + r₂. Отже, кола перетинаються.

4) 7 см + 7 см = 14 см, тобто О₁О₂ = r₁ + r₂. Отже, кола мають зовнішній дотик.

△АО₁О₂ = △ВО₁О₂ (за трьома сторонами (О₁А = O₁B — як радіуси, O₂A = О₂В — як радіуси, О₁О₂ — спільна сторона).

З рівності трикутників маємо: ∠AO₁O₂ = ∠BO₁O₂. △АО₁В — рівнобедрений, оскільки О₁А = О₁В, О₁М — бісектриса, отже, O₁M — висота, тобто О₁М ⟂ АВ, а звідси O₁O₂ ⟂ AB (так як О₁О₂ містить О₁М).

△СО₁О₂ = △DO₁O₂ (за трьома сторонами: O₁С = O₁D — як радіуси, О₂С = O₂D — як радіуси, O₁O₂ — спільна сторона).

З рівності трикутників випливає, що ∠СO₁О₂ = ∠DO₁О₂, тобто О₁O₂ — бісектриса кута CO₁D.

Нехай O₁O₂ = 5 см, О₂О₃ = 7 см, O₁O₃ = 8 см.

Нехай О₁А = r₁, О₂А = r₂, О₃В = r₃, тоді О₁О₂ + О₂О₃ + О₁О₃ = r₁ + r₂ + r₂ + r₃ + r₃ + r₁ = 2(r₁ + r₂ + r₃). Тоді

r₁ = (r₁ + r₂ + r₃) - O₂O₃ = 10 - 7 = 3 (см);

r₂ ⁼ (r₁ + r₂ + r₃) - O₁O₃ = 10 - 8 = 2 (см);

r₃ = (r₁ + r₂ + r₃) - O₁O₂ = 10 - 5 = 5 (см).

Відповідь: 3 см, 2 см, 5 см.

Нехай O₁O₂ = 14 см, О₃В - О₃С = 6 см.

О₁В + О₂С = О₁А + О₂A = O₁O₂ = 14 см.

P△O₁O₂O₃ = (O₁O₂ + O₁B + O₂C + O₃B + O₃C = 14 см + 14 см + 6 см + 6 см = 40 см.

Відповідь: 40 см.