ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 7 клас

Нехай у рівнобедреного △MNL MN = NL, ML = 3х см, тоді MN = NL = 4x. За у мовою задачі маємо 3х + 4х + 4х = 88; 11х = 88; х = 8. Отже, ML = 3 • 8 = 24 (см), MN = NL = 4 • 8 = 32 (см).

Відповідь: 24 см, 32 см, 32 см.

△АВС — рівнобедрений, АС = СВ, тоді ∠САВ = ∠СВА. △ABD — рівнобедрений, AD = DB, тоді ∠DAB = ∠DBA. ∠CAD = ∠САВ + ∠DAB, ∠CBD = ∠СВА + ∠DBA, ∠CAD = ∠CBD.

△ACD = △BCD за першою ознакою трикутників (АС = СВ, AD = DB — за умовою, ∠CAD = ∠CBD).

До § 15.

533. 1) Відрізок, що сполучає вершину із серединою протилежної сторони, називається медіаною трикутника.

2) Перпендикуляр, проведений з його вершини до прямої, що є протилежною стороною, називається висотою трикутника.

3) Відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає вершину трикутника з точкою протилежної сторони називається бісектрисою трикутника.

Нехай в рівнобедреному △MNK (MN = NK), NP — бісектриса (∠MNP = ∠PNK), NP = 5 см. Оскільки бісектриса рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є його висотою і медіаною, то висота і медіана дорівнюють 5 см кожна.

Відповідь: 5 см, 5 см.

535. ∠NMK = ∠NLK — як кути при основі рівнобедреного трикутника.

∠MNK = ∠LNК — оскільки NK є і бісектрисою, проведеною до основи.

∠NKM = ∠NKL = 90°, оскільки NK є і висотою. NM = NL — як сторони рівнобедреного трикутника.

МК = KL — оскільки NK — медіана рівнобедреного трикутника.

Нехай △АВС = △А₁В₁С₁. AM — медіана △АВС (CM = MB), А₁М₁ — медіана △А₁В₁С₁(С₁М₁ = М₁В₁).

Розглянемо △АВМ і △А₁В₁М₁: АВ = А₁В₁ — як відповідні сторони рівних трикутників ∠B = ∠B₁ — як відповідні кути рівних трикутників. MB = М₁В₁ — як половини рівних сторін. Отже, △АВМ = △А₁В₁М₁ за першою ознакою рівності трикутників.

Оскільки △АВС — рівнобедрений, то АВ = ВС. Оскільки BD — висота, то BD є бісектрисою, отже, ∠АВD = ∠СВD.

△АВО = △СВО за першою ознакою рівності трикутників (АВ = ВС, ВО — спільна, ∠АВО = ∠СВО). Із рівності цих трикутників випливає, що АО = СО.

538. Оскільки ∠АВD = ∠АDВ, то △ABD — рівнобедрений згідно з ознакою рівнобедреного трикутника, тоді АВ = AD.

Оскільки ∠DВС = ∠СDВ, то △BCD — рівнобедрений згідно з ознакою рівнобедреного трикутника, тоді СВ = CD.

△АВС = △ADC за двома сторонами і кутом між ними (AB = AD, BC = DC — за доведенням, ∠В = ∠D — як сума рівних кутів). Із рівності цих трикутників маємо ∠ВСА = ∠DСА. Оскільки пряма АС містить бісектрису кута С рівнобедреного трикутника BCD, то пряма AС містить висоту △BCD. Отже, АС ⟂ BD.

539. △АМК = △ВМК (за першою ознакою рівності трикутників: AM = ВМ — за умовою, МК — спільна сторона, ∠ВМК = ∠АМК = 90° — за умовою). Отже, ВК = АК.

P_△ABC = AB + BС = АВ + ВК + КС + АС = АВ + АК + КС + АС = а + P_△AKC = а + b.

АС = Р_△ABC = (АВ + ВС) = а + b -(2а) = а - b.

Відповідь: а - b; а + b.

До § 16.

540. △АВС = △CDA за третьою ознакою рівності трикутників, оскільки АВ = СD, BC = AD — за умовою, АС — спільна сторона.