ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 7 клас
521. ∠AOD = ∠COB як вертикальні кути. △AOD = △СОВ (AO = CO, DO = OB — за умовою, ∠AOD = ∠COB за доведенням).
522. MN — спільна сторона трикутників MKN і MPN. △MKN = △MPN за другою ознакою рівності трикутників (MN — спільна сторона, ∠PMN = ∠KMN, ∠KNM = ∠PNM).
523. ∠BAK = ∠CDK — як суміжні кути рівних кутів. △ВАК = △CDK за першою ознакою рівності трикутників (BA = CD, АК = KD, ∠BAK = ∠CDK). У рівних трикутників відповідні сторони рівні, отже, ВК = КС.
524. АХ = АС, тому що △САВ = △ХАВ за другою ознакою рівності трикутників (АВ — спільна сторона, ∠XAB = ∠CAB, ∠XBA = ∠CBA), а у рівних трикутників відповідні сторони рівні.
525. ∠BCD = ∠DFE — як суміжні кути рівних кутів. DC — спільний відрізок сторін АС і FD. АС = AD + DC, FD = CF + DC, AC = FD. Отже, △АВС = △DEF за першою ознакою (ВС = EF, AC = FD, ∠BCD = ∠DFC).
526. 1) △ABE = △ADC за другою ознакою (AB = AC — за умовою, ∠A — спільний, ∠ABE = ∠ADC = 90°, оскільки DC ⟂ AE, BE ⟂ AD). Із рівності трикутників маємо: AD = АЕ. Тоді BD = AD - АВ, СЕ = АЕ - АС. Оскільки АВ = АС за умовою, AD = АЕ за доведенням, то BD = СЕ.
2) △BOD = △СОЕ за стороною і двома прилеглими кутами (BD = СЕ — за доведеним в п. 1), ∠OBD = ∠OCE = 90°, ∠BDO = ∠CEO — як кути рівних трикутників ACD і АВЕ. З рівності трикутників маємо ВО = СО. △АВО = △АСО (за двома сторонами і кутом між ними: AВ = АС — за умовою, ВО = СО — за доведенням, ∠ABO = ∠ACO). Із рівності цих трикутників маємо ∠BAO = ∠CAO, отже, АО — бісектриса кута А.
До § 14.
1) РК = АР = 5 см, оскільки бічні сторони рівнобедреного трикутника рівні.
2) ∠К = ∠A = 70°, оскільки кути при основі рівнобедреного трикутника рівні.
Нехай △АВС — рівнобедрений, АС = 5 см, АВ = ВС = 4 см. Р△ABC = АВ + ВС + АС = 4 см + 4 см + 5 см = 13 см.
529. △АВС = △ADC (за першою ознакою: AB = AD — за умовою, ∠BAC = ∠CAD — за умовою, АС — спільна сторона). З рівності цих трикутників маємо ВС = CD. Отже, △BCD — рівнобедрений.
△KLM — рівнобедрений, KL = LM, тоді ∠К = ∠M.
△K1L1M1 — рівнобедрений, K1L1 = L1M1, тоді ∠К1 = ∠М1. Оскільки ∠К = ∠К1, то ∠M = ∠M1. Отже, △KLM = △K1L1M1 за другою ознакою рівності трикутників.
