ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 7 клас
1) Побудуємо прямий кут;
2) на одній із сторін відкладемо AH = h. Із точки А радіусом AM = m проводимо дугу. AM — медіана, АН — висота;
3) через точку М проводимо серединний перпендикуляр МР. На ньому лежить центр описаного кола. Із вершини А радіусом AO = R знаходимо т. О — центр кола. ОВ = ОС = ОА = R. △АВС — шуканий трикутник.
Точка дотику вписаного кола ділить бічну сторону рівнобедреного △АВС у відношенні AM : MB = 3 : 4. AM = АР = 3х; PC = NC = 3х; MB = NВ = 4х; АВ = ВС = 7х; AC = 6х. Рівняння: 7х + 7х + 6х = 220; 20х = 220; х = 11. АВ = ВС = 7 • 11 = 77 см; АС = 3 • 11 = 33 см.
AM : МВ = 4 : 3; AM = АР = 4х; NC = PC = 4х; МВ = NB = 3х. Відрізки рівні за властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки.
АС = 8х; АВ = ВС = 7х. Рівняння: 8х + 7х + 7х = 220; 22х = 220; х = 10.
АВ = ВС = 70 (см), АС = 80 (см).
Відповідь: 77 см; 77 см; 33 см або 70 см; 70 см; 80 см. Задача має 2 розв’язки.
△АВС, у трикутника вписано коло. FC = CF; DB = BE; AD = AF, за властивістю дотичних до кола, проведених з однієї точки поза колом.
FC = AC - AF; BD = AB - AD; ВС = ЕС + BE = FC + BD = AC - AF + AB - AD = AC + AB - 2AD; BC = AC + AB - 2AD; 2AD =
△ABC — прямокутний; ∠C = 90°; a і b — катети; C — гіпотенуза; r — радіус вписаного кола; AB = c; BN = BP = b - r; AN = AM = b - r; CP = r; AC = c або AC = b - r + a - r; c = b - r + a - r; c = b + a - 2r; 2r =
664. а) Центр описаного кола лежить на перетині серединних перпендикулярів до сторін трикутника. Нехай у △АВС ∠A = 90°, DE та FE — серединні перпендикуляри.
1) Доведемо, що точка Е належить гіпотенузі, тобто ∠CEB = 180°. Нехай ∠C = α, тоді ∠B = 90° - α, ∠FEC = 90° - α, ∠DEB = α, ∠ВЕС = ∠BED + ∠DEF + ∠CEF = α + 90° + 90° - α = 180°, отже, точка E лежить на гіпотенузі.
2) Доведемо, що Е — середина ВС. △BED = △FEC за двома катетами, тоді BE = EC, що й треба було довести.
б) Нехай у △АВС АО = ОВ = R, тоді О — точка перетину серединних перпендикулярів ЕО і ОК до сторін трикутника, тобто ∠АОВ = 180°. Нехай ∠A = α, ∠B = β. У △АОЕ: ∠АОЕ = 90° - α; у △ВОK: ∠КОА = 90° - β. ∠АСВ = 180° - α - β, тоді ∠ЕОК = 180° - α - β.
Оскільки ∠АОЕ + ∠ЕОК +∠ВОК = 180°, то ∠ЕОК = 180° - (90° - α) + (90° - β) = α + β. ∠ECK = ∠EOK = α + β. α + β + α + β = 180°. Отже, α + β = 90°, ∠АСВ = 90°, що й треба було довести.
