ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 7 клас

Дано: △АВС; ∠CAE = ∠CBD; АС = ВС.

Доведем, що △BDC = △АЕС.

1) ∠CAE = ∠CBD; 2) ВС = АС; 3) ∠C — спільний кут.

Трикутники рівні за другою ознакою рівності трикутників. АЕ = BD — з рівності трикутників.

а) 1) BO = OD;

2) ∠B = ∠D = 90°;

3) ∠AOB = ∠COD — вертикальні кути.

△АОВ = △COD за другою ознакою рівності трикутників.

б) АО = 4 см, АО = ОС = 4 см, AC = 8 дм.

Відповідь: 8 дм.

263. АВ — бісектриса ∠A, ∠1 = ∠2, AK = AF, ВК ⟂ AB, ∠КВА = ∠FBA = 90°.

△ABК = △ABF за стороною АВ (спільна сторона) і двома прилеглими кутами. З рівності трикутників маємо: АК = AF.

Кути, прилеглі до сторони, повинні бути рівними, тоді трикутники рівні. Ці трикутники не рівні.

Нехай на місцевості необхідно визначити відстань між точками А і С, прямий прохід між якими неможливий. Один із способів вимірювання такий: на місцевості обирають певну точку О, до якої можна дістатися з точок А і С. Будують промені АО і ОС. На промені АО відкладають відрізок АО = ОВ. Вимірюють ∠САО і будують ∠ОВD = ∠САО. D — точка перетину сторони кута з променем СО. Тоді ∠АОС = ∠ВОD як вертикальні, △АОС = △BOD за II ознакою рівності трикутників. BD = АС — шукана відстань.

△АВС = △А₁B₁С₁; ∠АВD = ∠А₁В₁D₁.

1) АВ = А₁B₁; 2) ∠АВD = ∠A₁B₁D₁; 3) ∠A = ∠A₁.

△ABD = △A₁B₁D₁ за другою ознакою рівності трикутників. З рівності трикутників маємо: BD = B₁D₁.

△ABC = △DCB.

1) АВ = CD з рівності трикутників △АВС і △DCB;

2) ∠A = ∠D;

3) ∠АВС = ∠DСВ, ∠АСВ = ∠DВС, ∠АВО = ∠АВС - ∠DBC; ∠DСО = ∠ОСВ - ∠DСО, тоді ∠АВО = ∠DСО.

△АВО = △DCO за другою ознакою рівності трикутників.

△AOD = △СОЕ. Доведемо, що △АВЕ = △СВD.

△AOD = △СОЕ за умовою, отже, ∠А = ∠С, ∠АDО = ∠СЕО, АО = ОС, DE = ЕО, АЕ = АО + ОЕ; СD = OС + ОD; отже, AE = DC.

∠ВDС = ∠ВЕА — як суміжні з рівними кутами ADO і CEA. △АВЕ = △CBD за стороною і прилеглими кутами.

△АВС = △MNK; AB = ВС; NK = МК; AB = MN; ВС = NK; АС = КМ.

Із рівності трикутників випливає, що всі сторони рівні.

Розглянемо △АВС і △ADB. АВ — спільна сторона, прилеглі до неї кути рівні за умовою, отже, трикутники рівні за II ознакою.

Тоді у △ACD АС = AD і у △BDC СВ = BD.

Відповідь: △ACD і △BDC.