ГДЗ до підручника «Алгебра» О.С. Істера. 9 клас
21. 1) Спростимо вираз в лівій частині нерівності: х3 - 3х2 + х - 3 = х2(х - 3) + (х - 3) = (х - 3)(х2 + 1).
х2 + 1 > 0 для будь-яких значення х.
х - 3 ≥ 0,якщо х ≥ 3. Отже, х3 - 3х2 + х - 3 ≥ 0, якщо х ≥ 3, що й треба було довести.
2) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності:
22. 1) Спростимо вираз в лівої частині нерівності: m3 + m2 + 5m + 5 = m2(m + 1) + 5(m + 1) = (m2 + 5)(m + 1).
m2 + 5 > 0 для будь-яких значень m.
m + 1 ≥ 0, якщо m ≥ -1. Отже, m3 + m2 + 5m + 5 ≥ 0, якщо m ≥ -1, що й треба було довести.
2) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності:
Високий рівень
23. 1) У виразі, який записано в лівій частині нерівності, виділимо квадрати двочленів:
m2 + 4m +р2 + 2р + 5 = (m2 + 4m + 4) + (р2 + 2р + 1) = (m + 2)2 + (р + 1)2.
Для будь-яких значень m і р: (m + 2)2 ≥ 0 і (р + 1)2 ≥ 0, тому (m + 2)2 + (р + 1)2 ≥ 0.
Отже, m2 + 4m +р2 + 2р + 5 ≥ 0, що й треба було довести.
2) Знайдемо різницю лівої і правої частини рівності: а2 + b2 - 4(а + b) + 8 = а2 + b2 - 4а - 4b + 8. Виділимо в цьому виразі квадрати двочленів: (а2 - 4а + 4) + (b2 - 4b + 4) = (а - 2)2 + (b - 2)2. Для будь-яких значень а і b: (а - 2)2 ≥ 0 і (b - 2)2 ≥ 0, тому (а - 2)2 + (b - 2)2 ≥ 0, тобто а2 + b2 - 4(а + b) + 8 ≥ 0. Отже, а2 + b2 ≥ 4(а + b) - 8, що й треба було довести.
3) Знайдемо різницю лівої і правої частини рівності: m2 + n2 + 1 - (m + n + mn) =
4) Знайдемо різницю лівої і правої частини рівності: а2 + b2 + с2 - 2(а + b + с) + 4 = (a2 - 2a + 1) + (b2 - 2b + 1) + (c2 + 2c + 1) + 1 = (а - 1)2 + (b - 1)2 + (с - 1)2 + 1.
Оскільки (а - 1)2 ≥ 0, (b - 1)2 ≥ 0, (с - 1)2 ≥ 0, то (а - 1)2 + (b - 1)2 + (с - 1)2 + 1 > 0, то а2 + b2 + с2 > 2(а + b + с) - 4, що й треба було довести.
24. 1) Спростимо вираз в лівій частині нерівності: а3 + 2а2 + а = а(а2 + 2а + 1) = а(а + 1)2.
(а + 1)2≥ 0, а > 0 за умовою, отже, а3 + 2а2 + а > 0, що й треба було довести.
2) Знайдемо різницю лівої і правої частини рівності: а3 + 1 - (а2 + а) = (а + 1)(а2 - а + 1) - а(а + 1) = (а + 1)(а2 - а + 1 - а) = (а + 1)(а - 1)2.
(а - 1)2 ≥ 0, а + 1 > 0, оскільки а — додатнє. Отже, а3 + 1 ≥ а2 + а, що й треба було довести.
3) Знайдемо різницю лівої і правої частини рівності: (а + 1)3 - 4(а3 + 1) = а3 + 3а2 + 3а + 1 - 4(а3 + 1) = (а3 + 1) + 3а(а + 1) - 4(а3 + 1) = -3(а3 + 1) + 3а(а + 1) = -3(а + 1)(а2 - а + 1) + 3а(а + 1) = -3(а + 1)(а2 - а + 1 + 3а) = -3(а + 1)(а + 1)2.
(а + 1)2 ≥ 0, а + 1 > 0, оскільки а — додатнє. Отже, -3(а + 1)(а + 1)2 < 0, що й треба було довести.
4) Спростимо вираз і лівій частині нерівності: а6 - а5 + а4 = (а6 - 2а5 + а4) + а5 = (а3 - а2)2 + а5; (а2 - а2)2 ≥ 0, якщо а > 0,
а5 > 0, отже, (а3 - а2)2 + а5 > 0, тоді а6 - а5 + а4 > 0, що й треба було довести.
25. 1) р3 + 10р2 + 25р = р(р2 + 10р + 25) = р(р + 5)2. Оскільки (р + 5)2 ≥ 0, р < 0, то р(р + 5)2 ≤ 0, отже, р3 + 10р2 + 25р ≤ 0, що й треба було довести.
2) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності: 1 - р3 - (р - р2) = (1 - р)(1 + p + р2) - р(1 - р) = (1 - р)(1 + р + р2 - р) = (1 - р)(1 + р2).
1 - р > 0, оскільки р — від’ємне, 1 + р2 > 0, отже, (1 - р)(1 + р2) > 0, тоді 1 - р3 > р - р2, що й треба було довести.
26. 1) Знайдемо різницю лівої і правої частини нерівності:
28. Розглянемо різницю виразів m3 + n3 і mn(m + n); m3 + n3 - mn(m + n) = (m + n)(m2 - mn + n2) - mn(m + n) = (m + n)(m2 - mn + n2 - mn) = (m + n)(m - n)2.
(m - n)2 ≥ 0. Оскільки m і n — додатні числа, то m + n теж додатнє число, отже, (m + n)(m - n)2 > 0, тоді маємо: m3 + n3 > mn(m + n).
29. Додамо до кожного з чисел. 2, 3, 4, 5 число а, одержимо числа: 2 + а, 3 + а, 4 + а, 5 + а, тоді маємо: (а + 2)(а + 5) - (а + 3)(а + 4) = 10 + 7а + а2 - (12 + 7а + а2) = 10 + 7а + а2 - 12 - 7а - а2 = -1. Отже, (а + 2)(а +5) < (а + 3)(а + 4).
