ГДЗ до підручника «Алгебра» А.Г. Мерзляка. 7 клас
601. 1) Знайдемо площу квадрата як суму чотирьох чотирикутників: двох квадратів і двох прямокутників.
S = (а + b)2 або S = а2 + ab + ab + b2 = а2 + 2ab + b2.
Отже, (a + b)2 = а2 + 2аb + b2.
2) а2 = (а - b)2 + b2 + (а - b) • b + (а - b) • b; а2 = (а - b)2 + b2 + ab - b2 + ab - b2; а2 = (а - b)2 + 2ab - b2; а2 - 2ab + b2 = (а - b)2 або (а - b)2 = а2 - 2аb + b2.
602. 2n + 1 — непарне число. (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 = 4n(n + 1) + 1. Оскільки n і n + 1 — послідовні натуральні числа, то одне з них парне і ділиться на 2. Тому 4n(n + 1) ділиться націло на 8, тоді остача від ділення числа (4n(n + 1) + 1) на 8 дорівнює 1.
603. 4n, 4n + 1, 4n + 2, 4n + 3 — чотири послідовних натуральних числа. 4n кратне 4, тому квадрат цього числа ділиться націло на 4.
(4n + 1)2 = 16n2 + 8n + 1 = 4(4n2 + 2n) + 1. Остача від ділення на 4 дорівнює 1.
(4n + 2)2 = 16n2 + 16n + 4 = 4(4n2 + 4n + 1). Остача від ділення на 4 дорівнює 0.
(4n + 3)2 = 16n2 + 24n + 9 = 16n2 + 24n + 8 + 1 = 4(4n2 + 6n + 2) + 1. Остача від ділення на 4 дорівнює 1.
Отже, остача від ділення квадрата натурального числа на 4 дорівнює 0 або 1.
604. х2 + (х + 1)2 - 2х(х + 1) = х2 + х2 + 2х + 1 - 2х2 - 2х = 1. Отже, різниця не залежить від вибору чисел.
605. 16n + 4 — дане натуральне число. (16n + 4)2 = 256n2 + 128n + 16 = 16(16n2 + 8 + 1); ділиться націло на 16, бо 16 ділиться на 16.
606. 25n + 5 — дане число. (25n + 5)2 = 625n2 + 250n + 25 = 25(25n2 + 10n + 1) — кратне 25, бо 25 кратне 25.
607. 9n + 5 — дане натуральне число. (9n + 5)2 = 81n2 + 90n + 25 = 81n2 + 90n + 18 + 7 = 9(9n2 + 10n + 2) + 7. Остача від ділення квадрата даного числа на 9 дорівнює 7.
608. 11n + 6 — дане число.
Його квадрат (11n + 6)2 = 121n2 + 132n + 36 = 121n2 + 132n + 33 + 3 = 11(11n2 + 12n + 3) + 3.
Остача від ділення квадрата числа на 11 дорівнює 3.
609. 1) (а + b + с)(a + b - с) = (а + b)2 - с2 = a2 + 2ab + b2 - c2;
2) (а + b + с)(а - b - с) = (а + (b + с))(а - (b + с)) = а2 - (b + с)2 = а2 - b2 - 2bс - с2;
3) (а + b + с + d)(a + b - с - d) = ((а + b) + (c + d))((a + b) - (c + d)) = (a + b)2 - (c + d)2 = а2 + 2аb + b2 - с2 - 2cd - d2.
610. 1) (а - b - с)(а + b - с) = ((а - с) - b) • ((а - с) + b) = (а - с)2 - b2 = а2 - 2ас + с2 - b2;
2) (а - b + с + d)(a - b - с - d) = ((а - b) + (с + d))((a - b) - (с + d)) = (а - b)2 - (с + d)2 = a2 - 2ab + b2 - c2 - 2cd - d2.
