Фізика. Профільний рівень. Повторне видання. 10 клас. Гельфгат
§ 13. Застосування законів збереження енергії та імпульсу
1. Закони збереження та їх роль у механіці
Ви вже вивчили такі важливі закони механіки, як закони збереження імпульсу та енергії. Нагадаємо зміст цих законів. Зазвичай вони виконуються для замкненої системи тіл. Це система тіл, на які не діють зовнішні сили (тобто сили з боку тіл, які не входять до складу цієї системи). Таким чином, тіла замкненої системи рухаються лише під дією внутрішніх сил (сил взаємодії між собою).
Зверніть увагу!
Навряд чи можна знайти в нашому Всесвіті (а тим більше на Землі) хоча б одну систему тіл, яка дійсно є замкненою. Ідеться знов про модель реальної системи тіл. Ця модель є придатною, коли зовнішніми силами можна знехтувати або ці сили взаємно компенсуються.
Закон збереження імпульсу (докладніше див.):
Наприклад, під час зіткнень або вибухів (рис. 13.1) на короткий час виникають такі величезні внутрішні сили, що порівняно з ними всіма іншими силами (тяжіння, опору повітря тощо) безумовно можна знехтувати.
Рис. 13.1. Розрив спеціального снаряда під час феєрверка. Для двох осколків показано діючі сили: червоним — сили тиску порохових газів (внутрішні сили в системі); чорним — сили тяжіння; зеленим — сили опору повітря
Ілюстрацією дії закону збереження імпульсу може бути також віддача під час пострілу (у сучасній зброї віддачу застосовують для автоматичного перезаряджання).
• Механічна енергія — одна з численних форм енергії. Механічна енергія тіла або системи тіл складається з кінетичної та потенціальної енергій: W = Wк + Wп.
Кінетична енергія Wк зумовлена рухом тіла. Вона показує, яку роботу може виконати рухоме тіло, коли швидкість його руху зменшується до нуля. Кінетична енергія тіла залежить від його маси та швидкості його руху:
Потенціальна енергія Wп зумовлена взаємодією тіл або частин одного тіла. Зрозуміло, що формула потенціальної енергії є різною для різних взаємодій. Значення Wп залежить також від вибору нульового рівня, від якого відраховується потенціальна енергія. Проте зміна потенціальної енергії внаслідок переміщення тіла вже не залежить від вибору нульового рівня.
У багатьох випадках тіло має і кінетичну, і потенціальну енергії. Наприклад, пасажирський літак під час зльоту набирає швидкості 200-250 м/с та піднімається на висоту понад 10 км; ліфт, що рушає з першого поверху на десятий, теж одночасно піднімається та розганяється.
• У замкненій системі тіл, що взаємодіють одне з одним тільки силами пружності та тяжіння, повна механічна енергія не змінюється: Wк + Wп = const.
Це твердження називають законом збереження та перетворення механічної енергії. Згідно з цим законом механічна енергія зазначеної системи не може зникнути або з’явитися. Вона може тільки переходити від одного тіла системи до іншого та змінювати форму (перетворюватися з кінетичної на потенціальну або навпаки). З вивченого курсу фізики ви вже знайомі з численними прикладами застосування закону збереження енергії.
Перетворення енергії тісно пов’язані з виконаною механічною роботою. Якщо, наприклад, під час падіння тіла сила тяжіння виконала роботу 200 Дж, то саме на стільки зменшилася потенціальна енергія тіла та збільшилася його кінетична енергія. Коли ж тіло летить угору, то сила тяжіння виконує від’ємну роботу та гальмує рух тіла. Якщо вона виконує роботу -200 Дж, то кінетична енергія зменшується на 200 Дж, а потенціальна — збільшується саме на стільки.
• Отже, зміни кінетичної та потенціальної енергій пов’язані з роботою А співвідношеннями
ΔWк = A, ΔWп = -A.
Можна сказати, що робота є мірою перетворень енергії.
Навколо фізики
Закони збереження часто є дуже зручними: вони дозволяють пов’язати характеристики початкового та кінцевого станів системи, не простежуючи «крок за кроком» усі зміни в системі. Проте ще важливіше те, що саме ці закони є найбільш фундаментальними законами природи. Вони справедливі навіть там, де закінчується «царина» законів класичної механіки. Закони збереження дозволяють ученим орієнтуватися в подіях мікросвіту, зародженні зір (подібних до Сонця або навіть нейтронних), утворенні чорних дір та еволюції Всесвіту. За сучасними поглядами закони збереження (як вивчені вами, так і ще не відомі вам) тісно пов’язані з властивостями простору-часу.
Механічна енергія зберігається не завжди. Наприклад, якщо штовхнути шайбу на льодовому майданчику, то вона згодом зупиниться, її початкова кінетична енергія нібито зникне. Проте шайба та лід нагріються через тертя, тобто збільшиться їх внутрішня енергія. Мірою перетворення кінетичної енергії у внутрішню тут є робота сили тертя. Можливе й зворотне перетворення внутрішньої енергії на механічну. Сума ж усіх видів енергії в замкненій системі обов’язково зберігається.
• У сучасній фізиці енергію розглядають як єдину міру різних форм руху та взаємодії матерії.
Чому ж сила тертя є певним «виключенням» — саме вона може змінити механічну енергію замкненої системи? На відміну від сил тяжіння та пружності, сила тертя не є потенціальною.
• Потенціальними (консервативними) називають сили, робота яких не залежить від форми траєкторії руху тіла, а визначається тільки початковим і кінцевим положеннями цього тіла. Інакше кажучи, робота таких сил на замкненій траєкторії завжди дорівнює нулю.
Можна довести, що сили тяжіння та пружності є потенціальними. Наприклад, якщо ви підкинули камінець угору, то під час піднімання сила тяжіння виконає від’ємну роботу, а під час опускання до початкової точки — таку саму за модулем додатну роботу. Загальна робота на всій замкненій траєкторії дорівнюватиме нулю (рис. 13.2).
Рис. 13.2. Принципова різниця між потенціальною силою (сила тяжіння, зображена червоною стрілкою) та непотенціальною (сила опору повітря, зображена зеленою стрілкою) для руху підкинутого вгору камінця
2. Закони збереження та кроки людини в космос
Ви знаєте, що «перепусткою» в космічний простір є достатня швидкість, надана тілу поблизу поверхні Землі. Навіть щоб обертатися навколо Землі на невеликій висоті над її поверхнею, тілу потрібна швидкість майже 8 км/с (це перша космічна швидкість для такої траєкторії). Щоб надати космічному апарату таку швидкість, застосовують реактивний рух.
• Реактивним називають рух, що виникає внаслідок відділення від тіла якоїсь його частини з певною швидкістю відносно тіла.
Щоб спостерігати реактивний рух, зовсім не обов’язково залишати Землю. Надуйте повітряну кульку та відпустіть її, не зав’язавши отвір ниткою. З відкритого отвору вириватиметься повітря, а кулька полетить у протилежному напрямі (рис. 13.3).
Рис. 13.3. Реактивний рух повітряної кульки
Щоб змінити швидкість свого руху, автомобіль або людина «відштовхуються» від поверхні Землі, риба або судно — від навколишньої води, птиця або гелікоптер — від повітря. А от космічний корабель поза межами земної атмосфери взагалі не має можливості «відштовхнутися» від навколишнього середовища, тому без реактивного руху в космосі не обійтися.
Реактивний рух широко застосовується не тільки в космічній техніці. Основу сучасної авіації складають саме реактивні літаки. Водометний двигун на судні створює силу тяги, викидаючи з великою швидкістю струмінь води; отже, це теж різновид реактивного двигуна (рис. 13.4). Таким самим є й принцип руху мешканців моря — кальмарів, восьминогів, каракатиць тощо. Проте всі «земні» природні та штучні реактивні двигуни так чи інакше застосовують речовину з навколишнього середовища. А в космосі такої можливості немає.
Рис. 13.4. Реактивний рух у техніці та природі: а — реактивний літак; б — катер із водометним двигуном; в — реактивний автомобіль
• Ракета — літальний апарат, що рухається завдяки реактивній тязі тільки за рахунок відкидання частини власної маси (без застосування речовини з навколишнього середовища).
Знак «мінус» нагадує, що напрями руху оболонки ракети та струменя газу є протилежними. Швидкість витікання струменя газу з сопла ракети може сягати від 2,5 до 4,5 км/с. Навіть якщо не враховувати сили земного тяжіння та опору повітря, то щоб надати ракеті швидкості
Корисний вантаж у такому разі становитиме лише 27 % загальної стартової маси ракети. Але й такий показник є недосяжним. Насправді ж паливо має згоряти поступово, тому значну його кількість треба розганяти разом з оболонкою ракети. З урахуванням цього за наведених значень vгаз, vοб корисний вантаж не може перевищувати 7 % загальної стартової маси. Якщо ж урахувати ще й інші чинники, то частка корисного вантажу виявляється зовсім малою. А треба ж піднімати в космос не тільки корпус ракети, а й прилади, людей, запаси кисню, води та їжі.
Навколо фізики
Вагомий внесок у дослідження космосу зробили й українські фахівці та фахівчині. Визнаними центрами конструювання та виготовлення космічних ракет-носіїв і систем керування для ракетно-космічної техніки є ВО Південмаш (Дніпро) і ПАТ «Хартрон» (Харків).
Через це виникла ідея застосування багатоступеневих ракет. Один з авторів цієї ідеї радянський учений К. Е. Ціолковський назвав їх «ракетними потягами». Фактично це кілька з’єднаних між собою ракет, які працюють по черзі, а після повної витрати палива кожна з них відкидається, полегшуючи тим самим решту конструкції. Корисний вантаж становить зазвичай близько 2 % стартової маси. Ще кілька років тому всі перші ступені багатоступеневих ракет були одноразовими, лише наприкінці 2015 року вперше здійснено посадку ступеня орбітальної ракети-носія «Falcon 9» (рис. 13.5), що відкрило шлях до повторного застосування цього ступеня.
Рис. 13.5. Старт ракети «Falcon 9»
Протягом шести десятиліть космічної ери народжені на Землі космічні апарати змогли дослідити планети Сонячної системи, їх супутники, астероїди та ядра комет. Для цього космічним апаратам потрібно було надати поблизу поверхні Землі другої космічної швидкості (див. § 7). Покажемо, як можна знайти значення другої космічної швидкості, застосувавши закон збереження енергії. Для цього нам знадобиться вираз для потенціальної енергії тіла в полі тяжіння Землі.
Фізика і техніка в Україні
Кондратюк Юрій Васильович
(1897-1942 рр.)
Видатний український радянський учений-винахідник, теоретик космонавтики та ракетної техніки. Народився в Полтаві, закінчив там гімназію, потім навчався в Петрограді.
Коли фахівці та фахівчині НАСА розробляли плани пілотованого польоту на Місяць, вони були вражені несподіваною знахідкою — книжкою Ю. В. Кондратюка, що вийшла друком 1929 року. Автор обґрунтував енергетично найвигіднішу схему польоту до Місяця. Це вихід корабля на орбіту навколо Місяця, відділення від корабля окремого апарата, що здійснює посадку на Місяць, а після старту з Місяця — стикування з кораблем на орбіті навколо Місяця. Саме за такою схемою було здійснено програму «Аполлон», а трасу польоту американці назвали «трасою Кондратюка». Український учений вивів також основне рівняння польоту ракети, розробив теорію багатоступеневих ракет, розглянув проблеми створення проміжних міжпланетних баз. Справжнє ім’я цього теоретика космічних польотів — Олександр Гнатович Шаргей. У вирі громадянської війни він був мобілізований до Білої армії, але дезертирував із неї. Побоюючись суворих радянських репресій, здобув документи на ім’я Ю. В. Кондратюка, за якими й прожив до кінця життя. На початку війни з Німеччиною вступив добровольцем до народного ополчення й загинув.
Матеріал про застосування законів збереження до процесів зіткнення тіл ви знайдете за посиланням. Тут ви зможете також розібрати приклади розв’язування задач.
Підбиваємо підсумки
Закон збереження імпульсу: в замкненій системі тіл (тіла такої системи взаємодіють тільки між собою) геометрична сума імпульсів усіх тіл не змінюється:
Для застосування законів збереження енергії та імпульсу в механічних явищах слід перш за все установити, чи є система тіл замкненою. Якщо йдеться про зіткнення будь-якого типу, то завжди можна застосовувати закон збереження імпульсу (у векторному вигляді або в проекціях). Закон збереження енергії виконується для всіх замкнених систем, але механічна енергія зберігається тільки за відсутності тертя та непружних зіткнень.
Контрольні запитання
1. Яку фізичну величину називають імпульсом тіла? 2. Наведіть приклади систем тіл, які можна хоча б наближено вважати замкненими. 3. Який рух називають реактивним? 4. За яких умов зберігається повна механічна енергія системи тіл? 5. Наведіть приклади пружних зіткнень. 6. Наведіть приклади абсолютно непружних зіткнень.
Вправа № 13
1. Порівняйте модулі імпульсів людини масою 60 кг, що біжить зі швидкістю 8 м/с, і платформи масою 40 т, що рухається зі швидкістю 1,8 км/год.
2. Камінь масою 1 кг кинули з моста заввишки 25 м із початковою швидкістю 11 м/с. Визначте кінетичну енергію м’яча перед самим падінням у воду. Опір повітря не враховуйте; вважайте, що g = 10 Н/кг.
3. Пожежник тримає в руках шланг. На скільки збільшиться сила тиску пожежника на землю, якщо шланг щосекунди викидатиме вгору 15 кг води зі швидкістю 20 м/с?
4. Космонавт, що працює у відкритому космосі поблизу орбітальної станції, нерухомий відносно неї. Він відштовхнув від себе контейнер, маса якого втричі менша від маси самого космонавта. Контейнер набрав швидкості 2 м/с відносно космонавта. Якої швидкості набрав космонавт відносно орбітальної станції?
5. Під час розгону нерухомого автобуса до швидкості руху 30 км/год виконано роботу 120 кДж. Яку роботу потрібно виконати після цього, щоб збільшити швидкість руху автобуса до 60 км/год?
6. Космічному апарату поблизу поверхні Землі надали швидкості, що на 20 % перевищує першу космічну. На яку максимальну відстань може віддалитися апарат від центра Землі?
7. Кулька масою т зазнала пружного центрального зіткнення з нерухомим кубиком масою 4m. У скільки разів зменшилася кінетична енергія кульки?
8. Тіло масою 10 г, що летіло в горизонтальному напрямі зі швидкістю 8 м/с, зазнало центрального пружного зіткнення з кулею масою 40 г, підвішеною на легкій мотузці. На скільки підніметься куля внаслідок зіткнення? Вважайте, що g = 10 м/с2.
9. Скільки відсотків своєї кінетичної енергії може втратити протон унаслідок пружного зіткнення з практично нерухомим ядром Літію-7?
Експериментальне завдання
Здійсніть відеозапис зіткнення двох більярдних куль, розташувавши відеокамеру або смартфон прямо над більярдним столом. Користуючись відеозаписом, визначте модулі та напрями швидкостей куль (до зіткнення та після нього). Перевірте: а) чи виконується під час зіткнення закон збереження імпульсу; б) чи було зіткнення пружним.
