Фізика. Профільний рівень. Повторне видання. 10 клас. Гельфгат

§ 9. Рух тіла під дією кількох сил

1. Рух по похилій площині

Нагадаємо, як найкраще застосовувати закони механіки, щоб розібратися в русі тіл під дією кількох сил (така ситуація є найбільш поширеною). Розв’язування задач — творчий процес, іноді потрібні нестандартні підходи. Проте можна дати рекомендації, які допоможуть у більшості випадків.

Отже, розгляньмо брусок масою m на похилій площині з кутом α нахилу до горизонту (рис. 9.1). Коефіцієнт тертя між бруском і площиною дорівнює μ. Знайдемо прискорення руху бруска.

Рис. 9.1. Рух тіла по похилій площині (показано напрями сил і можливого прискорення тіла)

Оскільки виконувати дії над векторами, напрямленими по-різному, досить складно, перейдемо від векторів до їх проекцій на осі координат. На цьому етапі не поспішатимемо: адже якщо вибрати звичні (горизонтальну та вертикальну) осі, то три з чотирьох векторних величин на рис. 9.1 матимуть «незручні» напрями — під кутом до осей. Якщо ж вибрати напрями осей вздовж похилої площини та перпендикулярно до цієї площини (рис. 9.2), то вигляд рівнянь спроститься, бо три з чотирьох векторів будуть паралельні осям.

З рисунка видно, що mg_x = mg sin α, mg_y = -mg cos α. Отже, в проекціях на осі координат другий закон динаміки має вигляд

Щоб повністю використати всі надані умови, додаємо до цих рівнянь формулу для модуля сили тертя ковзання

F_тер = μN.

Щоб розв’язати отриману систему з трьох рівнянь, виразимо з другого рівняння N і підставимо в перше рівняння вираз F_тep = μN = μmg cos α. Отримаємо відповідь

а = g (sin α - μ cos α).

Проаналізуємо отриману відповідь. Легко переконатися, що з одиницями величин усе гаразд. Проте це ще не все...

Фактично ми шукали проєкцію прискорення на вісь Ох. Отже, відповідь краще записати у вигляді

а_х = g (sin α - μ cos α).

За умови tg α > μ все зрозуміло — брусок рухається вниз, збільшуючи швидкість. Якщо tg α = μ, отримуємо а_х = 0 — брусок рухається вниз рівномірно або перебуває у спокої. А от коли нахил похилої площини малий і tg α < μ, отримуємо а_х < 0. Проте згадаємо, що сила тертя ковзання напрямлена протилежно швидкості руху тіла. Отже, вибравши напрям цієї сили (див. рис. 9.1) і застосувавши формулу для сили тертя ковзання, ми обмежилися випадком, коли брусок ковзає похилою площиною вниз. Тоді умова а_х < 0 просто означає, що рух бруска сповільнюється, а це цілком природно.

Якщо ж брусок просто поставити на похилу площину (не надавши початкової швидкості), то за умови tg α < μ він перебуватиме в спокої.

Зверніть увагу!

Для сили тертя спокою виконується лише співвідношення F_тep ≤ μN (а не F_тep = μN). Знайти модуль сили тертя спокою можна з умови а_х = 0.

Рівномірний рух тіла похилою площиною за умови tg α = μ дає зручний спосіб вимірювання кофіцієнта тертя.

2. Алгоритм розв'язування задач динаміки

Ураховуючи розглянутий вище приклад і багато інших, можна сформулювати досить чіткий алгоритм, який полегшить розв’язання більшості задач динаміки.

• 1. Прочитати та записати умову задачі, виразити чисельні значення в СІ.
• 2. Зробити схематичний рисунок, показавши на ньому всі діючі на тіло сили і напрям прискорення.
• 3. Записати другий закон динаміки у векторній формі.
• 4. Вибрати зручні осі координат, записати другий закон динаміки в проекціях на ці осі.
• 5. Записати додаткові рівняння (наприклад, формули для сил або рівняння кінематики).
• 6. Розв’язати отриману систему рівнянь у загальному вигляді.
• 7. Проаналізувати отриманий результат (перевірити одиниці величин, розглянути окремі або граничні випадки).
• 8. Провести числові розрахунки, оцінити правдоподібність результатів.
• 9. Записати відповідь.

Якщо розглядається рух системи тіл, пункти 3 і 4 слід виконати для кожного з тіл, а в пункті 5 слід врахувати кінематичні зв’язки.

3. Рух системи тіл

Застосуємо наведений вище алгоритм для розв’язання ще однієї задачі.

Задача. Два тягарці масами m₁ = 100 г і m₂ = 300 г прив’язані до кінців нерозтяжної нитки, перекинутої через нерухомий блок. Масами нитки та блока, а також тертям в осі блока можна знехтувати. Визначте прискорення тягарців і силу натягу нитки.

Підбиваємо підсумки

Щоб розглянути рух тіла під дією кількох сил, у більшості випадків найкраще діяти за алгоритмом:

• зробити схематичний рисунок, на якому показати напрями всіх сил, прискорень і вибраних осей координат;
• записати другий закон динаміки у векторній формі, а потім у проекціях;
• застосувати всі наявні додаткові умови (рівняння сил, кінематичні зв’язки тощо);
• розв’язати отриману систему рівнянь у загальному вигляді, проаналізувати результат усіма доступними способами, провести числові розрахунки та оцінити правдоподібність результатів.

Контрольні запитання

1 Як напрямлена сила реакції опори, що діє на тіло? 2. Яким може бути напрям прискорення тіла на похилій площині? 3. Яке співвідношення випливає з умови нерозтяжності нитки, що зв’язує тіла? 4. Чи слід ураховувати внутрішні сили, записуючи рівняння другого закону динаміки для кожного тіла в системі тіл?

Вправа № 9

1. На вертикальному канаті масою 4 кг піднімають вантаж масою 16 кг, прикладаючи до верхнього кінця канату силу 240 Н. Визначте прискорення вантажу та сили натягу канату поблизу його верхнього та нижнього кінців.

2. Два зв’язані легкою ниткою бруски тягнуть гладенькою горизонтальною поверхнею, прикладаючи до переднього бруска горизонтальну силу F = 8 Н (див. рисунок). Визначте силу натягу нитки, якщо маси брусків m₁ = 2 кг і m₂ = 6 кг.

3. Два тягарці масами m і 4m прив’язані до кінців нерозтяжної нитки, перекинутої через нерухомий блок. Масами нитки та блока, а також тертям в осі блока можна знехтувати. Визначте відношення ваги другого тягарця до ваги першого.

4. Два однакових тягарці масами по 49 г прив’язані до кінців нерозтяжної нитки, перекинутої через нерухомий блок. Масами нитки та блока, а також тертям в осі блока можна знехтувати. Коли на один із тягарців поклали додатковий вантаж, система почала рухатися з прискоренням 0,2 м/с². Визначте масу додаткового вантажу.

5. Ящик масою 26 кг треба втягти по похилій площині завдовжки 6,5 м і заввишки 2,5 м. Яку силу потрібно для цього прикладати в напрямі руху, якщо коефіцієнт тертя між ящиком і площиною дорівнює 0,5?

6. Хлопчик везе по горизонтальній дорозі санчата, на яких сидить його молодша сестра, за допомогою мотузки, що утворює кут 27° з горизонтом. Визначте силу натягу мотузки, якщо маса навантажених санчат дорівнює 30 кг, а коефіцієнт тертя між їх полозами та дорогою становить 0,1.