ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 7 клас

341. ∠ABC = 180° - ∠MBA - ∠CBK = 180° - 42° - 50° = 82°.

∠BAC = ∠MBA = 42°, як внутрішні різносторонні при МК ∥ АС і січній АВ; ∠АСВ = ∠СВК = 56°, як внутрішні різносторонні при МК ∥ AС і січній ВС.

Відповідь: 82°, 42°, 56°.

342. За умовою ∠DAC = ∠ВАС. Оскільки AD II ВС, то ∠DAC = ∠ВСА — як різносторонні кути при паралельних прямих AD і ВС та січній АС.

Оскільки ∠DAC = ∠BAC, ∠DAC = ВСА, то ∠BAC = ∠BCA, тоді △AВС — рівнобедрений.

345. BK = KE, CK = KD, ∠BKC = ∠DKE, тому △ВКС = △DKE, отже, ∠КВС = ∠KED, тому ВС ∥ AD, отже, АD ∥ МК.

346. ∠ВАЕ = ∠AEF = ∠EAF, отже, АЕ — бісектриса кута ВАС. Оскільки АВ = АС, АЕ є також висотою трикутника ABC, отже AE ⟂ ВС.

347. BD — висота, тому ∠MDE = ∠MDF = 90°. BD також є бісектрисою, тому ∠ABD = ∠DBC, отже, ∠EMD = ∠ABD, ∠FMD = ∠CBD, тому ∠EMD = ∠FMD. △MED = △MFD за другою ознакою. Отже, DE = DF.

348. Нехай AB ∥ DЕ. Проведемо FC ∥ АВ, тоді FC ∥ DE, тоді ∠ABC = ∠1, ∠CDE = ∠2. Отже, ∠BCD = ∠1 + ∠2 = ∠ABC + ∠CDE.

349. Нехай АВ ∥ DE, ∠АВС = 120°, ∠CDE = 150°. Проведемо СК ∥ АВ, тоді СК ∥ DE і ∠ВСК = 180° - ∠ABC = 180° - 120° = 60°.

∠DCK = 180°- ∠CDE = 180° - 150°= 30°. Отже, ∠BCD = ∠BCK + ∠DCK = 60° + 30° = 90°. Тобто ВС ⟂ CD.

350. Оскільки AM — бісектриса кута ВАС, то ∠ВАМ = ∠МАС. Оскільки ВК ∥ AM, то ∠КВА — ∠МАВ — як різносторонні при паралельних прямих ВК і AM та січній AВ; ∠AМС = ∠ВКА — як відповідні при паралельних прямих ВК і AM та січній AВ.

Оскільки ∠ABM = ∠МАС, ∠АМС = ∠ВКА, ∠МАВ = ∠КВА, маємо: ∠АКВ = ∠КВА, тобто △ВАК — рівпобедрений.