ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 7 клас

611. Оскільки КР — дотична до кола, то ОМ ⟂ КР, ∠ОМР = 90°, ∠ОМК = 90°.

1) Якщо ∠NMP = 35°, то ∠OMN = ∠ОМР - ∠NMP = 90° - 35° = 55°.

2) Якщо ∠ONM = 50°, то ∠KMN = ∠ОМК + ∠OMN = 90° + 50° = 140°.

612. Оскільки КР — дотична до кола, то ОМ ⟂ КР, ∠ОМР = 90°, ∠OMK = 90°.

1) Якщо ∠OMN = 52°, то ∠NMP = ∠ОМР - ∠OMN = 90° - 52° = 38°.

2) Якщо ∠KMN = 135°, то ∠OMN = ∠KMN - ∠ОМК = 135° - 90° = 45°.

△ОВА і △ОСА — прямокутні, оскільки OB ⟂ АВ, ОС ⟂ АС.

△ОВА = △ОСА за двома катетами (ОВ = ОС — як радіуси кола, АВ = АС — як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола).

З рівності трикутників маємо ∠BOA = ∠COA. Отже, ОА — бісектриса кута BOC.

△QMP і △QNP — прямокутні, оскільки QM ⟂ MP, QN ⟂ NP.

△QMP = △QNP за двома катетами (QM = QN — як радіуси кола, PM = PN — як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола).

З рівності трикутників маємо ∠MPQ = ∠NPQ. Отже, PQ — бісектриса кута MPN.

615. Оскільки МК — дотична до кола, то ОМ ⟂ МК, ∠ОМК = 90°. △OMN — рівнобедрений, оскільки ОМ = ON — як радіуси кола. ∠OMN = ∠ONM = (180° - ∠MON) : 2 = (180° - 82°) : 2 = 49°. ∠NMK = 90° - ∠OMN = 90° - 49° = 41°.

Відповідь: 41°.

616. Оскільки МК — дотична до кола, то ОМ ⟂ МК, ∠ОМК = 90°. △OMN — рівнобедрений, оскільки ОМ = ON — як радіуси кола. ∠OMN = ∠ONM = ∠ОМК - ∠NMK = 90° - 53° = 37°. ∠NOM = 180° - ∠OMN - ∠ONM = 180° - 37° - 37° = 106°.

Відповідь: 106°.

МК і MN — дотичні. ОК ⟂ МК, ON ⟂ MN. З прямокутного △ОКМ: оскільки ОМ = 2ОК, то ∠KMO = 30°.

З прямокутного △ONM: оскільки ОМ = 2ON, то ∠OMN = 30°.

Отже, ∠KMN = ∠КМО + ∠OMN = 30° + 30° = 60°.

Відповідь: 60°.

△ONM = △ОКМ за двома катетами (ON = OK — як радіуси кола, MN = МК — як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола). Отже, ∠NMO = ∠KMO = 30°.

△KMN - рівнобедрений, оскільки MN = МК, ∠MNK = ∠МKN = (180° - 60°) : 2 = 120° : 2 = 60°. Отже, △KMN — рівносторонній і NK = NM = 7 см.

Відповідь: 7 см.

кутів, не суміжних з ним. Тоді, оскільки ∠B = ∠A, то трикутник AВС — рівнобедрений згідно з ознакою рівнобедреного трикутника.

620. З прямокутного △АВС: AB = 2АС = 2 • 6 = 12 (см) (за властивістю прямокутного трикутника з кутом 30°). ∠ABC — зовнішній кут трикутника ADB. ∠BAD + ∠D = ∠АВС (за властивістю зовнішнього кута трикутника). ∠BAD = 30° - 15° = 15°. Отже, за ознакою рівнобедреного трикутника △ABD — рівнобедрений (∠BAD = ∠D). Отже, BD = АВ = 12 см.

Відповідь: 12 см.