ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 7 клас

До § 19.

Не слідує. На мал. △АВС ≠ △DBC, проте ВС △ABC = BC △BCD.

2) Слідує.

Не слідує. △АВС ≠ △A₁B₁C₁ проте ∠А = ∠A₁ = 30°, ∠C = ∠C₁ = 60°.

4) Слідує.

562. 1) ∠M = 90° - ∠K = 90° - 60° = 30°, оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°.

катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи.

3) МК = 2РК = 30 • 2 = 60 (мм) — згідно з властивістю 3 прямокутних трикутників.

Відповідь: 1) 30°; 2) 12 см; 3) 60 мм.

563. Розглянемо △АВС і △АPC: ∠В = ∠Р, ∠ВСА = ∠РСА, оскільки СА — бісектриса кута С, АС — спільна сторона. Отже, △АВС = △АРС за гіпотенузою і гострим кутом.

Нехай △KLM — прямокутний, ∠К = 3х°, ∠L = 7х°. Оскільки сума гострих кутів трикутника дорівнює 90°, маємо: 3х + 7х = 90°; 10х = 90°; х = 9°. Отже, ∠К = 3 • 9° = 27°, ∠L = 7 • 9° = 63°.

Відповідь: 27°, 63°.

Нехай у прямокутному △АВС (∠B = 90°), BF ± АС, ∠АВD = ∠DBC = 90° : 2 = 45°, ∠DBF = 15°. ∠FBC = ∠DBC - ∠DBF = 45° - 15° = 30°.

З прямокутного трикутника BCF: ∠BCF = 90° - ∠FBC = 90° - 30° = 60°.

З прямокутного △АВС: ∠A = 90° - ∠C = 90° - 60° = 30°, оскільки сума гострих кутів трикутника дорівнює 90°.

Відповідь: 60°, 30°.

Нехай △АВС — прямокутний, АС = ВС, CD ⟂ АВ, CD = 5 см.

Оскільки △АВС — рівнобедрений, то CD — є медіаною. Отже, АВ = 2CD = 2 • 5 = 10 (см) за властивістю медіани прямокутного трикутника.

Відповідь: 10 см.

Нехай в прямокутному △АВС (∠C = 90°), ∠A = α, ∠B = β, α + β = 90°.

∠LMB — суміжний з кутом AMВ.

∠LMB = 180° - 135° = 45°.

Відповідь: 45°.

Нехай в △АВС (∠A = 90°) ∠B = 30°, ВА = 24 см, CD — бісектриса кута С, ∠BCD = ∠DCA.

З △АВС маємо: ∠C = 90° - ∠B = 90° - 30° = 60°. ∠BCD - ∠DCA = 60° : 2 = 30°.

△BCD — рівнобедрений, оскільки ∠B = ∠BCB, отже, CD = BD.

Нехай △АВС — рівнобедрений, АВ = ВС, AD ⟂ BC, ∠ABC = 120°, AD = а см.

З △АВС: ∠A = ∠C = (180° - 120°) : 2 = 60° : 2 = 30°.

З прямокутного △ADC: АС = 2AD = 2 • a = 2a см.

Відповідь: 2а см.

Нехай в прямокутному △АВС CD — медіана, CD = 10 см, ∠ACD : ∠DCB = 1 : 2, отже, ∠ACD = 90° : 3 = 30°, ∠DCB = (90° : 3) • 2 = 60°.

Оскільки медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи, то АВ = 2CD = 2 • 10 = 20 см, CD = DB, CD = AD. Отже, △CDB — рівнобедрений, оскільки ∠DCB = ∠DBC = 60°. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то ∠CDB = 180° - (∠DCB + ∠DBC) = 180° - 120° = 60°. Отже, △СDВ — рівносторонній, СВ = CD = DB = 10 см.

Відповідь: 20 см, 10 см.