ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 7 клас

311. За умовою АВ = СD, ∠ВАС = ∠DCA. АС — спільна сторона. Отже, △АВС = △СDА за двома сторонами і кутом між ними.

312. За умовою ∠LMK = ∠РКМ і ∠LKM = ∠РМК. МК — спільна сторона. Отже, △MKL = △КМР за стороною і прилеглими кутами.

313. Оскільки за умовою △АВС = △A₁B₁C₁, то у них відповідні сторони і кути рівні. Отже, A₁C₁ = AC, ∠C₁ = ∠С. Тоді △АLС = △А₁L₁С₁ за стороною і двома прилеглими кутами.

314. Оскільки за умовою △АВС = △A₁B₁C₁, то у них відповідні сторони і кути рівні. Отже, AB = A₁B₁, ∠ВАМ = ∠В₁А₁М₁. Отже, △АВМ = △А₁В₁М₁ за двома сторонами і кутом між ними.

315. Ні. Трикутники рівні, якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють двом сторонам і куту між ними другого трикутника.

316. Не можна стверджувати, що коли сторона і два кути одного трикутника дорівнюють стороні і двом кутам другого трикутника, то трикутники рівні.

На мал. в △AВС АВ = 2 см, ∠САВ = 30°, ∠СВА = 60°, а в △АСD: АВ = 2 см, ∠BAD = 60°, ∠ADB = 30°. Проте △АВС ≠ △ABD.

Оскільки △АВК = △CBL, то у них відповідні сторони і кути рівні. Отже, ∠А = ∠С, АВ = СВ, АК = CL. AL = АК + KL, СК = CL + KL, отже, KL — спільний відрізок для AL і СК i AL = СК. Тоді △ABL = △СВК за двома сторонами і кутом між ними.

Оскільки △АКС = △ALC, то у них відповідні сторони і кути рівні. Отже, КС = LC, ∠КСА = ∠LCA. Оскільки ∠КСА = ∠LCA, то рівні і суміжні з ними кути ∠КСВ = ∠LCB. СВ — спільна сторона трикутників ВКС і BLC. Отже, △BKC = △BLC за двома сторонами і кутом між ними.

Оскільки АВ — бісектриса кута А, то ∠МАВ = ∠NAB, АВ — спільна сторона трикутників AМВ i ANB. Отже, △АМВ = △ANB за стороною і прилеглими кутами. У рівних трикутників відповідні сторони рівні. Отже, AM = AN.

Розглянемо △АМР і △ANP. AP — спільна сторона. △АМР = △ANP за двома сторонами і кутом між ними (∠МАР = ∠NАР, AM = AN). У рівних трикутників відповідні кути рівні, отже, ∠МРА = ∠NPA. Оскільки ці кути суміжні і рівні, то маємо ∠МРА + ∠NPA = 180°, ∠МРА = ∠NPA = 90°. Тож MN ⟂ АВ.

320. 13 см + 4 дм = 1,3 дм + 4 дм = 5,3 дм — друга сторона трикутника. 4 дм : 2 = 2 дм — третя сторона трикутника. Р_△ = 4 + 5,3 + 2 = 11,3 (дм).

Відповідь: 11,3 дм.

Якщо ці три кути 1, 3, 5, то ∠1 + ∠3 + ∠5 = 270°, то всі ці кути по 90°, тоді і решта кутів по 90°. Звідси а ⟂ с, b ⟂ с. Якщо ці три кути 1, 2, 3, тоді ∠1 + ∠2 = 180° (як суміжні), звідси ∠3 = 90°. Отже, і інші кути по 90°. Звідси a ⟂ с, b ⟂ c.

322. Можна скласти прямокутник 101x50. Кожна сторона прямокутника буде складатися з двох прямокутників 1x1 і 1x100; 1x2 і 1x99; ...; 1x50 і 1x51.