Фізика і астрономія. Рівень стандарту. 11 клас. Засєкіна

§ 4. Робота з переміщення заряду в електричному полі

Обчислення роботи електричного поля з переміщення заряду. Ми вже вказували на подібність законів взаємодії електрично заряджених тіл (закон Кулона) та масивних тіл (закон всесвітнього тяжіння). В обох випадках

Відповідно і наслідки із законів мають бути схожими.

У курсі механіки ми з’ясували, що сила всесвітнього тяжіння є консервативною силою, оскільки її робота з переміщення тіла масою m у просторі не залежить від траєкторії руху тіла, а визначається лише його початковим і кінцевим положеннями. Робота з переміщення тіла замкненою траєкторією дорівнює нулю. Робота сили земного тяжіння (біля поверхні Землі) А = mg(h1 - h2) (мал. 15). Нагадуємо, силове поле, у якому робота не залежить від форми траєкторії, називається потенціальним.

Мал. 15. До визначення роботи сили тяжіння

У кожній точці поля тіло має певну потенціальну енергію відносно вибраного нульового рівня. Значення потенціальної енергії тіла в даній точці простору визначається роботою поля з переміщення тіла від цієї точки на нульовий рівень. Робота сили тяжіння дорівнює зміні потенціальної енергії тіла А = -(Еп2 - Еп1).

Ці висновки отримано із закону всесвітнього тяжіння Ньютона, подібні висновки мають бути отримані й для електростатичних сил, що діють в електричному полі.

Розглянемо рух точкового заряду в однорідному електричному полі. Нехай однорідне поле створюють великі металеві пластини, що мають заряди протилежних знаків. Це поле діє на точкове тіло сталою силою F = qE , подібно до того, як поле тяжіння діє зі сталою силою F = mg на тіло поблизу поверхні Землі.

Нехай пластини розміщені горизонтально. Обчислимо роботу, яку виконує електростатичне поле, переміщуючи позитивний заряд q з точки 1, розташованої на відстані d1 від негативно зарядженої пластини, у точку 2, віддалену на відстань d2, по прямолінійній траєкторії (мал. 16, а).

Мал. 16. Переміщення позитивного заряду в однорідному електричному полі: а — по прямолінійній траєкторії; б — по ламаній

Як відомо з курсу механіки, робота з переміщення тіла визначається формулою А = Fs cos α, де α — кут між векторами сили та переміщення.

Відповідно електричне поле на ділянці 1-2 виконує роботу А = Fd, де d = s cos α. З урахуванням того, що F = qE, отримуємо А = qEd = qE(d1 - d2). Ця робота не залежить від форми траєкторії, подібно до того, як не залежить від форми траєкторії робота сили тяжіння. Доведемо це. Нехай тепер позитивний заряд q переміщується з точки 1 у точку 2 ламаною BDC (мал. 16, б; с. 19). Тоді поле виконує роботу А = qE (BD cos α1+ DC cos α2) = qE(BD1 + D1C1) = qEd.

Такого самого висновку ми дійдемо за будь-якого вигляду траєкторії руху точкового заряду, адже будь-яку криву можна замінити переміщенням по ламаній траєкторії з достатньо малими сходинками (мал. 17).

Мал. 17. Криволінійну траєкторію можна замінити траєкторією у вигляді ламаної лінії з якою завгодно точністю, якщо взяти достатньо малі сходинки

Ми довели, що в однорідному електричному полі робота електростатичних сил не залежить від форми траєкторії. Отже, робота з переміщення заряду замкненою траєкторією дорівнює нулю.

Можна довести, що цей висновок справджується і для неоднорідних полів, наприклад, для поля точкового заряду (мал. 18).

Мал. 18. Робота з переміщення заряду в неоднорідному полі

Отже, електростатичні сили взаємодії між нерухомими точковими зарядами є консервативними. А поле консервативних сил є потенціальним. Відповідно електричне поле, так само, як і гравітаційне поле, — потенціальне. І робота сил електричного поля може бути визначена через зміну потенціальної енергії точкового заряду в цьому полі.

Потенціальна енергія взаємодії точкових зарядів. Подібно до того як будь-яке тіло, що взаємодіє із Землею за законом всесвітнього тяжіння, на різних відстанях від її центра має різну потенціальну енергію, електричний заряд q на різній відстані від іншого заряду q0 має різну потенціальну енергію1 — W. Якщо заряд q переміщується в електричному полі з точки 1, де його потенціальна енергія була W1, у точку 2, де його енергія стала W2, робота сил поля А = W1 - W2 = -(W2 - W1) = -ΔW. Як видно з формули, А і ΔW мають протилежні знаки. Це пояснюється тим, що якщо заряд q переміщується під дією сил поля (тобто робота поля А додатна), то його потенціальна енергія зменшується, приріст енергії ΔW — від’ємний. Якщо ж заряд переміщується проти сил поля (A — від’ємна), то потенціальна енергія заряду збільшується. (Таке само співвідношення між потенціальною енергією та роботою сили тяжіння.)

1 Оскільки літерою Е позначається напруженість електричного поля, то енергію в електродинаміці прийнято позначати літерою W.

Як відомо, значення потенціальної енергії залежить від вибору нульового рівня. В електростатиці1 умовились потенціальну енергію заряду, розміщеного в точці, нескінченно віддаленій від зарядженого тіла, що створює поле, вважати за нуль, W = 0. Тоді, в разі переміщення заряду q з точки 1 у нескінченність, робота поля А = W1 - W = W1. Тобто потенціальна енергія заряду q, розміщеного в якій-небудь точці поля, чисельно дорівнює роботі, яку виконують сили поля, переміщуючи цей заряд із вказаної точки в нескінченність: W = qEd, де d — відстань від джерела поля до точки, у якій перебуває заряд q.

1 В електротехніці, на відміну від електростатики, за нуль часто вважають потенціальну енергію заряду, розміщеного на Землі.

Якщо поле створено позитивним зарядом, то значення потенціальної енергії іншого позитивного заряду, розміщеного в деякій точці цього поля, буде додатним, якщо ж поле створено негативним зарядом, то значення потенціальної енергії позитивного заряду — від’ємне. Для негативного заряду, розміщеного в електричному полі, усе буде навпаки. (Подумайте чому.) Коли поле створено відразу кількома зарядами, потенціальна енергія заряду q, розміщеного в якій-небудь точці такого поля, дорівнює алгебраїчній сумі енергій, зумовлених полем кожного заряду в цій точці.

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

1. Як обчислюється робота з переміщення зарядженого тіла в однорідному електричному полі? 2. У тексті параграфа показано, що робота переміщення заряду з точки 1 у точку 2 дорівнює qEd. Якою буде робота, якщо цей само заряд переміщується з точки 2 в точку 1? 3. Чи завжди робота сил електричного поля вздовж замкненої траєкторії дорівнює нулю? Наведіть приклад.

Вправа 3

1. Поле створено точковим зарядом 1,6 · 10-8 Кл. Визначте напруженість поля на відстані 6 см від заряду. З якою силою буде діяти поле в цій точці на заряд, що дорівнює 1,8 нКл?

2. Визначте напруженість поля заряду 36 нКл у точках, віддалених від нього на 9 і 18 см.

3. У точці А (мал. 19) розташували заряд q1 а в точці В — заряд q2. Визначте проекції на вісь вектора напруженості результуючого поля в точках С і D, якщо |АС| = 6 см, |СВ| = |BD| = 3 см. Розв’яжіть задачу для таких значень зарядів: а) q1 = 40 нКл, q2 = 10 нКл; б) q1 = 40 Кл, q2 = -10 нКл; в) q1 = - 40 нКл, q2 = 10 нКл; г) q1 = - 40 нКл, q2 = -10 нКл.

Мал. 19

4. Заряди по 0,1 мкКл розташували на відстані 6 см один від одного. Визначте напруженість поля в точці, віддаленій на 5 см від кожного із зарядів. Розв’яжіть задачу для випадків, коли: а) обидва заряди позитивні; б) один заряд позитивний, а інший негативний.

5. Два заряди, один з яких за модулем у 4 рази більший за другий, розташували на відстані а один від одного. У якій точці поля напруженість дорівнює нулю, якщо заряди однойменні; різнойменні?