Фізика і астрономія. Рівень стандарту. 11 клас. Засєкіна

§ 24. Вільні електромагнітні коливання

Коливальний контур. Електромагнітні коливання були відкриті дещо випадково. Це сталося після того, як винайшли лейденську банку (перший конденсатор) і навчились надавати їй великого заряду за допомогою електростатичної машини. Спостерігаючи електричний розряд банки, обкладки лейденської банки замикали на дротяну котушку. Виявилося, що стальні спиці всередині котушки намагнічуються. У цьому нічого дивного не було: електричний струм і має намагнічувати стальне осердя котушки. Здивувало інше: не можна було передбачити, який кінець осердя котушки буде північним полюсом, а який — південним. Повторювавши дослід приблизно в однакових умовах, діставали то один результат, то інший, і не відразу зрозуміли, що під час розряджання конденсатора через котушку виникають коливання.

Ми не можемо безпосередньо сприймати нашими органами чуття електромагнітні коливання так, як бачимо коливання маятника або чуємо коливання струни. Але можемо використати електронний осцилограф — пристрій, на екрані якого можна спостерігати за електромагнітними коливаннями.

Проведемо дослід (мал. 106). Зарядивши конденсатор від джерела постійного струму, замкнемо його котушкою, до якої паралельно підключено осцилограф. На екрані осцилографа ми будемо спостерігати осцилограму, яка свідчить про наявність електромагнітних коливань. Отже, найпростішою установкою, в якій можна спостерігати електромагнітні коливання, є електричне коло — коливальний контур, до складу якого входить котушка індуктивністю L та конденсатор ємністю С. Такий коливальний контур називають закритим, оскільки він майже не випромінює енергії в довкілля.

Мал. 106. Спостереження електромагнітних коливань

Коливання, які виникають у коливальному контурі після початкового виведення системи з положення стійкої рівноваги, здійснюються завдяки внутрішнім силам системи, не зазнаючи впливу з боку змінних зовнішніх сил, тобто є вільними.

Перетворення енергії в коливальному контурі. Розглянемо детальніше, як відбуваються електромагнітні коливання (мал. 107). (Для порівняння і наочності на малюнку з кожним станом коливального контура зіставлене певне положення тягарця, підвішеного на пружині, що здійснює механічні коливання.)

Мал. 107. Аналогія електромагнітних і механічних коливань

Перед початком конденсатор заряджають. У початковий момент (t = 0) після замикання обкладок зарядженого конденсатора через котушку в колі виникає струм, який збільшується поступово, оскільки його збільшенню протидіє вихрове електричне поле, що виникає внаслідок збільшення магнітного потоку котушки.

З моменту

струм у колі продовжує протікати внаслідок процесу самоіндукції, при цьому конденсатор перезаряджається, між його пластинами зростає електричне поле, яке заважає протіканню струму. Струм зменшується поступово, оскільки його підтримує вихрове електричне поле, що виникає внаслідок зменшення магнітного поля котушки. Струм припиниться, коли вся енергія магнітного поля котушки перейде в енергію електричного поля конденсатора

(Подібно до того, як тягарець у положенні рівноваги з максимальною швидкістю за інерцією продовжує рухатися вниз, стискаючи пружину. Кінетична енергія руху тягарця перетворюється на потенціальну енергію пружини.)

Потім процес повторюється у зворотному напрямку. З моменту

конденсатор знову розряджається, і в контурі виникає струм зворотного напрямку. Енергія електричного поля зарядженого конденсатора зменшується, а магнітного поля — зростає. Момент часу

коли конденсатор повністю розрядиться, а сила струму досягне максимального значення і максимальною буде енергія магнітного поля, відповідає проходженню тягарцем положення рівноваги.

Після цього струм самоіндукції заряджатиме конденсатор, і коливальна система повернеться у вихідне положення (t = Т).

В ідеальному випадку, якщо б у коливальному контурі не було втрат енергії, цей процес тривав би як завгодно довго. Коливання були б незатухаючими. Через інтервали часу, що дорівнюють періоду коливань, стан системи точно повторювався б. Повна енергія при цьому зберігалася б і в будь-який момент часу дорівнювала максимальній енергії електричного поля конденсатора або максимальній енергії магнітного поля котушки зі струмом,

Коливання, які відбуваються в ідеальній системі без тертя, тобто без втрат механічної енергії, ще називають власними. Власні коливання — це теоретично можливі вільні незатухаючі коливання.

Насправді втрати енергії неминучі. Зокрема, котушка та з’єднувальні провідники мають опір R, і це спричинює поступове перетворення енергії електромагнітного поля на внутрішню енергію провідника.

Цей вираз геометрично можна зобразити у вигляді прямокутного трикутника, гіпотенуза якого q_m, а катети q і i√LC (мал. 108). З малюнка видно, що q = q_m cos φ,

Мал. 108. До виведення рівняння електромагнітних коливань

Отримані вирази свідчать, що заряд конденсатора й сила струму в котушці змінюються за гармонічним законом. Водночас між коливаннями заряду на обкладках конденсатора й сили струму в колі існує різниця фаз

З малюнка також видно, що

Оскільки миттєве значення заряду q конденсатора — величина змінна, а амплітудне значення q_m — стала, то φ — також постійно змінюється. Швидкість зміни фази коливань

є циклічною частотою ω. Тепер формулу для зміни заряду можна записати у вигляді q = q_m cos ωt. Ураховуючи, що і = q', формулу зміни сили струму отримаємо, обчисливши похідну, i = q' = -qm ω sin ωt, де qm ω = I_m — максимальне значення сили струму. Зрештою маємо: і = -I_m sin ωt.

Графіки коливань заряду та сили струму наведено на малюнку 109.

Мал. 109. Графіки коливань заряду (а) та сили струму (б)

Формула періоду власних електромагнітних коливань. Знайдемо формулу для визначення періоду власних коливань, використавши те, що всі закономірності гармонічних коливань у механіці зберігають свою суть і для електромагнітних коливань. Як відомо, період коливань зв’язаний із циклічною частотою співвідношенням

Цю формулу для періоду вільних електромагнітних коливань в ідеальному коливальному контурі теоретично вивів у 1853 р. англійський фізик Вільям Томсон, тому її називають формулою Томсона. З формули видно, що період власних коливань зростає зі збільшенням ємності та індуктивності контура. Пояснюють це тим, що зі збільшенням індуктивності контура сила струму повільніше зростає з часом і повільніше спадає до нуля. А що більшою є ємність контура, то більше часу потрібно для перезаряджання конденсатора.

Застосовуючи формулу зв’язку між періодом коливань Т і частотою v, визначимо власну частоту коливань у контурі:

Із цієї формули видно, що для одержання в контурі коливань високої частоти ємність й індуктивність контура мають бути якомога меншими.

Отримання незатухаючих коливань. У реальному контурі заряджений конденсатор спричинює виникнення лише затухаючих коливань. У кінці кожного періоду коливань заряд на пластинах конденсатора зменшується порівняно з початком періоду. Зрозуміло, заряд зберігається, але зменшується на однакову за модулем величину позитивного заряду на одній пластині й негативного на іншій. Унаслідок чого енергія коливань зменшується, оскільки вона пропорційна квадрату заряду,

Щоб коливання не затухали, потрібно компенсувати втрати енергії за кожний період.

Поповнювати енергію в контурі можна, підзаряджаючи конденсатор. Для цього потрібно періодично вмикати контур у коло джерела постійної напруги. При цьому конденсатор має вмикатися в коло джерела лише в ті проміжки часу, коли приєднана до позитивного полюса джерела пластина заряджена позитивно, а та, що приєднана до негативного полюса, — негативно. Тільки за такої умови джерело підзаряджатиме конденсатор, поповнюючи його енергію. Тобто джерело постійної напруги, яке весь час під’єднане до конденсатора контура, не може підтримувати в ньому незатухаючих коливань. Адже половину періоду енергія надходитиме в контур, а в наступну половину періоду — повертатиметься до джерела. Незатухаючі коливання встановляться в контурі лише за умови, що джерело вмикатиметься в контур у ті інтервали часу, коли це потрібно. Система, яка сама регулює надходження енергії в коливальний контур для компенсації її втрат, називається автоколивальною.

Про принцип дії генератора на транзисторі читайте в електронному додатку.

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

1. У початковий момент часу конденсатор заряджений. Якою буде локалізація енергії в моменти

від початку коливань? 2. Заряд q на пластинах конденсатора коливального контура змінюється із часом t за законом q = 10^-6 cos 10⁴ пt (усі величини в СІ). Запишіть закон залежності сили струму від часу, i(t). Визначте період і частоту коливань у контурі, амплітуду коливань заряду й амплітуду коливань сили струму.

Приклади розв'язування задач

Задача¹. На малюнку 110 наведено графік залежності сили струму від часу для вільних електромагнітних коливань у контурі. Визначте ємність конденсатора, якщо індуктивність котушки дорівнює 0,1 Гн. Запишіть рівняння залежності сили струму в контурі й напруги від часу. Побудуйте графік залежності u(t).

¹ Якщо в умові задачі немає ніяких застережень, то вважається, що коливальний процес відбувається в ідеальному коливальному контурі.

Мал. 110

Мал. 111. Графік коливань напруги

Вправа 18

1. Коливальний контур складається з конденсатора ємністю 1 мкФ і котушки індуктивністю 4 Гн. Амплітуда коливань заряду на конденсаторі становить 100 мкКл. Напишіть залежності q(t), i(t), u(t). Визначте амплітуди коливань сили струму та напруги.

2. Коливальний контур складається з котушки, індуктивність якої 0,2 мГн, та двох однакових конденсаторів ємністю 4 мкФ кожний, з’єднаних послідовно. Визначте період вільних коливань у контурі, максимальний заряд конденсатора та максимальну напругу на кожному конденсаторі. Максимальна сила струму в контурі — 0,1 А.

3. У коливальному контурі індуктивністю L і ємністю С конденсатор заряджений до максимальної напруги U_m. Якою буде сила струму в момент, коли напруга на конденсаторі зменшиться у 2 рази? Коливання вважайте незатухаючими.

4. У коливальному контурі індуктивність котушки становить 0,2 Гн, а амплітуда сили струму дорівнює 40 мА. Визначте енергію електричного поля конденсатора й магнітного поля котушки в той момент, коли миттєве значення сили струму буде у 2 рази меншим, ніж амплітудне значення.

5. Котушку якої індуктивності треба ввімкнути в коливальний контур, щоб при ємності конденсатора 50 пФ дістати частоту вільних коливань 10 МГц?

6. У скільки разів зміниться частота власних коливань у коливальному контурі, якщо ємність конденсатора збільшити у 25 разів, а індуктивність котушки зменшити в 16 разів?

7. Конденсатор, який має ємність 10 мкФ, зарядили до напруги U_max = 400 В і приєднали до котушки. Після цього в контурі виникли затухаючі коливання. Яка кількість теплоти виділиться в контурі за час, протягом якого амплітуда коливань зменшиться у 2 рази?