Фізика і астрономія. Профільний рівень. 11 клас. Засєкіна

§ 7. Електроємність. Конденсатори

Електроємність провідників різної форми. Ми вже дізналися, що в провіднику, вміщеному в електричне поле, відбувається перерозподіл зарядів доти, поки зовнішнє поле всередині провідника не скомпенсується власним полем розділених зарядів. Усі заряди розміщуються на зовнішній поверхні провідника, яка є еквіпотенціальною. Потенціал будь-якої точки цієї поверхні вважається потенціалом усього провідника.

З'ясуємо, як змінюватиметься потенціал провідника за зміни його заряду. Візьмемо провідник (наприклад, металеву кулю), ізольований від Землі та інших провідників, і, не змінюючи його положення відносно інших провідників, будемо його електризувати (збільшувати заряд) (мал. 24). За допомогою електрометра1 вимірюватимемо відповідні значення потенціалу провідника. У скільки разів збільшується заряд кулі, у стільки ж зростає її потенціал, тобто заряд провідника прямо пропорційний потенціалу, q ~ φ. Уводячи коефіцієнт пропорційності, отримуємо q = Cφ, де С — коефіцієнт пропорційності, сталий для умов даного досліду. Якщо ми замінимо провідник іншим (наприклад, кулею більших розмірів) або змінимо зовнішні умови досліду, то значення коефіцієнта С буде іншим. Цей коефіцієнт пропорційності називають ємністю (або електроємністю)1 провідника.

1 Електрометр, або електростатичний вольтметр, — прилад для вимірювання потенціалу зарядженого провідника відносно Землі або відносно іншого зарядженого провідника.

2 Цей термін було введено в ХVІІ ст., коли ще не було обґрунтовано сучасні положення електродинаміки, а здатність провідника накопичувати електричний заряд пояснювали тим, що заряд можна «вливати» до нього й «виливати» з нього.

Мал. 24. Дослідження залежності потенціалу провідника від зміни його заряду

Електроємність С — скалярна фізична величина, що характеризує здатність провідників накопичувати й утримувати певний електричний заряд. Вона вимірюється відношенням заряду q, який надали відокремленому провідникові, до його потенціалу φ,

Одиниця електроємності — фарад, 1 Ф.

Електроємність провідника правильної форми можна розрахувати. Наприклад, обчислимо ємність окремої провідної кулі радіусом r. Потенціал зарядженої кулі підставляючи цей вираз у формулу для ємності, отримуємо: C = 4πε0εr.

Слід зазначити, що ємність 1 Ф є дуже великою. Так, за допомогою останньої формули можна показати, що у вакуумі електроємність в 1 Ф має куля радіусом 9 · 109 м (що в 23 рази більше за відстань від Землі до Місяця). Ємність Землі, радіус якої 6,4 · 106 м, дорівнює 7 · 10-4 Ф.

Тому на практиці найчастіше використовують мікро- та пікофаради: 1 мкФ = 10-6 Ф, 1 пФ = 10-12 Ф.

Досліди показують, що ємність провідника залежить від його розмірів і форми. Проте не залежить від матеріалу, агрегатного стану, форми та розмірів порожнини всередині провідника (поясніть самостійно чому). З'ясуємо умови, від яких залежить електроємність провідника.

Оскільки провідник електризується через вплив, електроємність провідника має залежати від розміщення поблизу нього інших провідників і від навколишнього середовища. Покажемо це на досліді. Візьмемо два металеві диски, закріплені на підставках з діелектрика (мал. 25). Диск А з'єднаємо з електрометром, корпус якого заземлений, а диск В відсунемо від диска А. Наелектризуємо диск А, надавши йому заряд, який надалі не змінюватиметься. Визначивши значення потенціалу диска А за показами електрометра, почнемо наближати до нього диск В, одночасно спостерігаючи за стрілкою приладу. Виявляється, що потенціал диска А при цьому зменшується.

Мал. 25. Дослід з визначення залежності електроємності провідників від відстані між ними

Ще різкіше зменшення потенціалу диска А можна спостерігати, якщо заземлити диск В, який наближається1. Узявши до уваги, що заряд на диску А при цьому не змінюється, робимо висновок, що зменшення потенціалу зумовлене збільшенням електроємності системи дисків. Замінивши повітря між дисками іншим діелектриком, знову зауважимо збільшення електроємності системи дисків.

1 Заземлення провідників — це з'єднання їх із землею (дуже довгим провідником) за допомогою металевих листів, закопаних у землю, водопровідних труб тощо.

Результати дослідів можна пояснити так. Коли диск В потрапляє в поле диска А, він електризується через вплив і створює своє поле. Якщо з'єднати диск В із землею, на ньому залишаться лише заряди протилежного знака порівняно із зарядами на диску А. Це підсилює поле диска В, яке ще більше зменшує потенціал диска А. Якщо внести між диски діелектрик, то він поляризується. Поляризаційні заряди, розміщені поблизу поверхні диска А, компенсують частину його заряду, отже, електроємність диска зростає.

Конденсатор. Електроємність плоского конденсатора. Розглянута система провідників є основою для пристроїв, які називають конденсаторами. Конденсатори широко використовують в радіотехніці як пристрої для накопичування й утримання електричного заряду.

Найпростіший конденсатор складається з двох або більше різнойменно заряджених і розділених діелектриком провідників, які називають обкладками конденсатора. Останні мають однакові за абсолютним значенням різнойменні заряди й розміщені одна відносно одної так, що поле в цій системі сконцентроване в обмеженому просторі між обкладками. Діелектрик між обкладками відіграє подвійну роль: по-перше, він збільшує електроємність, по-друге — не дає зарядам нейтралізуватись. Тому діелектрична проникність і електрична міцність на пробій (пробій діелектрика означає, що він стає провідним) мають бути досить великими. Щоб захистити конденсатор від механічних зовнішніх дій, його вставляють у корпус.

Накопичення зарядів на обкладках конденсатора називають його заряджанням. Щоб зарядити конденсатор, його обкладки приєднують до полюсів джерела напруги, наприклад, до полюсів батареї акумуляторів. Можна також сполучити одну обкладку з полюсом батареї, другий полюс якої заземлено, а другу обкладку конденсатора теж заземлити. Тоді на заземленій обкладці залишиться заряд, протилежний за знаком, а за модулем він дорівнюватиме заряду іншої обкладки. Такий самий за модулем заряд піде в землю.

Під зарядом конденсатора розуміють абсолютне значення заряду однієї з обкладок. Він прямо пропорційний різниці потенціалів (напрузі) між обкладками конденсатора. У такому разі ємність конденсатора (на відміну від відокремленого провідника) визначається за формулою

За формою обкладок конденсатори бувають плоскі, циліндричні та сферичні. Як діелектрик у них використовують парафіновий папір, слюду, повітря, пластмаси, кераміку тощо. Типовий плоский конденсатор складається з двох металевих пластин площею S, простір між якими розділено діелектриком товщиною d.

Виведемо формулу для ємності плоского конденсатора. Ураховуючи, що підставимо в цю формулу вираз U = Ed, де Е — напруженість поля, створюваного двома пластинами,

У результаті отримаємо:

Таким чином, електроємність плоского конденсатора прямо пропорційна площі перекривання пластин і відносній діелектричній проникності діелектрика й обернено пропорційна відстані між пластинами. З формули випливає, що, зменшуючи товщину діелектрика між пластинами або збільшуючи площу перекривання пластин, можна дістати конденсатор більшої ємності.

Відповідно можна вивести формули для ємності конденсаторів інших форм. Так, ємність сферичного конденсатора обчислюється за формулою де r та R— радіуси внутрішньої та зовнішньої сфер (у випадку відокремленої кулі, коли R = ∞, маємо: C = 4пε0εr).

З'єднання конденсаторів. У багатьох випадках, щоб створити потрібну електроємність, конденсатори з'єднують у групу, яка називається батареєю.

Послідовним називають таке з'єднання конденсаторів, за якого негативно заряджена обкладка попереднього конденсатора з'єднана з позитивно зарядженою обкладкою наступного. У разі послідовного з'єднання на всіх обкладках конденсаторів будуть однакові за модулем заряди, відповідно однаковими будуть і потенціали обкладок, з'єднаних між собою провідниками.

Урахувавши це, виведемо формулу для обчислення електроємності батареї послідовно з'єднаних конденсаторів. Напруга на батареї Uб дорівнює сумі напруг на послідовно з'єднаних конденсаторах, справді (φ1 - φ2) + (φ2 - φ3) + ... + (φn-1 - φn) = φ1 - φn або U1 + U2 + ... + Un = Uб. Використавши співвідношення q = CU, дістанемо Скоротивши на q, матимемо Отже, для послідовного

з'єднання електроємність батареї менша від найменшої з електроємностей окремих конденсаторів.

Паралельним називається з'єднання конденсаторів, за якого всі позитивно заряджені обкладки приєднані до одного провідника, а негативно заряджені — до іншого. У цьому разі напруги на всіх конденсаторах однакові й дорівнюють U, а заряд на батареї дорівнює сумі зарядів на окремих конденсаторах, qб= q1 + q2 + ... + qn, звідки CбU = C1U + C2U + ... + CnU. Після скорочення отримуємо формулу для обчислення електроємності батареї паралельно з'єднаних конденсаторів, Сб = C1 + C2 + ... + Cn. Для паралельного з'єднання електроємність батареї більша, ніж найбільша з електроємностей окремих конденсаторів.

Енергія зарядженого конденсатора. Як і будь-яка система заряджених тіл, конденсатор має енергію. Для того щоб зарядити конденсатор, потрібно виконати роботу, що витрачається на розділення позитивних і негативних зарядів. Згідно із законом збереження енергії, ця робота дорівнює енергії конденсатора A = Wел.

Як відомо, робота сил електричного поля з переміщення заряду на певну відстань дорівнює A = qU, якщо напруга постійна (U = const). У випадку заряджання конденсатора напруга на його обкладках зростає від нуля до U, й, обчислюючи роботу поля, у цьому разі потрібно використовувати її середнє значення Відповідно енергія зарядженого конденсатора Оскільки q = CU, то матимемо ще дві формули для обчислення енергії конденсатора:

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

1. Дайте визначення електроємності. У яких одиницях її вимірюють? 2. Між якими величинами у визначенні електроємності двох провідників існує функціональна залежність? Яка саме? Що є функцією, а що — аргументом? 3. Що таке конденсатор? 4. Виведіть формулу електроємності плоского конденсатора. 5. Які існують види конденсаторів? 6. Для чого конденсатори з'єднують у батареї? 7. Чого досягають, з'єднавши конденсатори паралельно; послідовно?

Приклади розв'язування задач

Задача. Три конденсатори ємностями C1 = 0,2 мкФ, С2 = С3 = 0,4 мкФ з'єднані між собою, як показано на малюнку 26, і приєднані до джерела постійного струму UAB = 250 В. Визначте загальний електричний заряд, заряд і різницю потенціалів на кожному з конденсаторів.

Мал. 26

Вправа 6

1. Дві кулі, електроємності яких C1 = 2 пФ і С2 = 3 пФ та відповідні заряди q1 = 2 · 10-7 Кл і q2 = 1 · 10-7 Кл, з'єднали між собою. Визначте заряди на кулях після їх з'єднання.

2. Три конденсатори ємностями 1, 2 і 3 мкФ з'єднані послідовно й під'єднані до джерела струму напругою 220 В. Які заряди та напруги на кожному конденсаторі?

3. Визначте ємність системи конденсаторів (мал. 27).

Мал. 27

4. Конденсатор ємністю С1 зарядили до напруги U1 = 500 В. Коли цей конденсатор паралельно приєднали до незарядженого конденсатора ємністю С2 = 4 мкФ, вольтметр показав U2 = 100 В. Визначте ємність С1.

5. До повітряного конденсатора, зарядженого до напруги 210 В, приєднали паралельно такий самий незаряджений конденсатор, але зі скляним діелектриком. Яку діелектричну проникність має скло, якщо на затискачах батареї встановилася напруга 30 В?

6. У яких межах може змінюватись ємність системи, що складається з двох конденсаторів, якщо ємність одного з них постійна й дорівнює 3,33 нФ, а ємність другого змінюється від 22,2 до 555,5 пФ?

7. Відстань між пластинами плоского конденсатора, діелектриком якого є пропарафінений папір, дорівнює 2 мм, а напруга між пластинами становить 200 В. Визначте густину енергії поля.

8. В імпульсному фотоспалаху лампа живиться від конденсатора ємністю 800 мкФ, зарядженого до напруги 300 В. Визначте енергію та середню потужність спалаху, якщо тривалість розряджання становить 2,4 мс.

9. Визначте роботу, яку необхідно виконати, щоб збільшити відстань між пластинами плоского повітряного конденсатора на 0,4 мм. Площа кожної пластини дорівнює 2π · 104 мм2, заряд — 200 нКл.

10. Плоский конденсатор ємністю С = 60 · 10-12 Ф зарядили в повітрі до потенціалу U = 400 В. Після занурення конденсатора в рідкий діелектрик до половини висоти його пластин енергія конденсатора зменшилась на ΔW = 1,2 · 10-6 Дж. Визначте діелектричну проникність діелектрика.

11. Відстань між пластинами плоского повітряного конденсатора, приєднаного до джерела струму напругою 180 В, збільшують від 5 до 12 мм. Площа пластин конденсатора — 175 см2. Визначте роботу із розсування пластин у двох випадках: 1) конденсатор перед розсуванням пластин відімкнений від джерела; 2) конденсатор у процесі розсування пластин весь час під'єднаний до джерела.

Виконуємо навчальні проекти

• Елекростатичні явища в науці, техніці й побуті.

• Електростатичний захист.

• Блискавка.

• Підкорювачі блискавки. Скільки коштує блискавка?

• Від лейденської банки до сучасного конденсатора.