Фізика і астрономія. Профільний рівень. 11 клас. Засєкіна

§ 3. Електричне поле заряджених поверхонь

Потік напруженості електричного поля. Теорема Остроградського — Гаусса. Розглянемо поле точкового позитивного заряду. Кількість силових ліній N можна зобразити довільно, оскільки поле існує в усіх точках простору навколо заряду. Оточимо уявно заряд сферами, центр яких збігається з точковим зарядом (мал. 7). Як видно, кількість ліній напруженості, що перетинають першу і другу сфери, однакова. Яку б кількість сфер ми не побудували, кількість ліній напруженості, що їх перетинають, залишається однаковою.

Мал. 7 Ілюстрація до введення поняття потоку напруженості електричного поля

Модуль напруженості поля, створюваного точковим зарядом q, у довільній точці сфери радіусом r становить Перепишемо цю формулу в такому вигляді: Площа сфери S = 4пr2, отже, дана формула набуває вигляду

Оскільки площа сфери збільшується, як квадрат радіуса, а напруженість поля в точках на сфері зменшується, як квадрат радіуса, добуток ES залишається однаковим для всіх сфер.

Раніше ми встановили, що однаковою для всіх сфер буде кількість ліній напруженості, що їх перетинають, N. Отже, з точністю до деякої сталої можна прирівняти: ES = N або Як видно з останньої формули, кількість ліній напруженості, що виходять з точкового заряду, пропорційна величині цього заряду.

У розглянутому випадку поверхня сфери площею S, усередині якої міститься точковий заряд, є замкнутою поверхнею, перпендикулярною до ліній напруженості. Для цього випадку ми й отримали Такий само результат можна отримати і для довільної системи зарядів: якщо оточити довільну систему зарядів замкненою поверхнею (не обов'язково сферою), то кількість силових ліній, що перетинають цю поверхню, визначається сумарним зарядом системи, Це твердження називають теоремою Остроградського — Гаусса.

Сукупність ліній напруженості, що перетинають площину, перпендикулярну до ліній напруженості і площа якої S, називають потоком вектора напруженості, N = ES.

Якщо поверхня не перпендикулярна до напрямку вектора напруженості електричного поля, то формула записується так: N = ES cos α, де α — кут між напрямком вектора напруженості і нормаллю до поверхні (мал. 8).

Мал. 8. Обчислення потоку вектора напруженості

Теорему Остроградського — Гаусса формулюють так:

Потік вектора напруженості електричного поля через довільну замкнену поверхню дорівнює — алгебраїчна сума зарядів, що перебувають усередині цієї поверхні.

Приклади застосування теореми Остроградського — Гаусса. Теорема Остроградського — Гаусса полегшує знаходження значень вектора Е, коли площу поверхні, що охоплює заряд, легко обчислити за формулами геометрії. Наприклад, обчислимо напруженість поля, створюваного рівномірно зарядженою сферою. Але перед цим уведемо поняття густини електричного заряду.

Густина електричного заряду — фізична величина, що характеризує розподіл електричного заряду в просторі.

Користуються поняттями:

• лінійної густини τ, якщо електричний заряд q розподілений уздовж лінії завдовжки l,

• поверхневої густини σ, якщо заряд q розподілений по поверхні площею S,

• об’ємної густини ρ, якщо електричний заряд q розподілений по всьому об'єму V,

Якщо на поверхні сфери радіусом R (мал. 9) рівномірно розподілено заряд q, то поверхнева густина заряду дорівнює:

Мал. 9. Електричне поле зарядженої сфери

Розглянемо всередині сфери будь-яку точку А на відстані r від її центра, тобто точку, для якої r < R. Із центра О проведемо допоміжну поверхню, теж у вигляді сфери радіусом r, та обчислимо потік ліній напруженості N крізь цю поверхню, Оскільки всередині допоміжної поверхні радіуса r електричних зарядів немає, q = 0, то і напруженість поля також дорівнює нулю.

Отже, всередині зарядженої провідної сфери (чи іншого провідника будь-якої форми, на якому електричний заряд завжди розміщується тільки на поверхні) електричного поля немає.

Обчислимо напруженість для точок, які містяться біля самої поверхні сфери, тобто для яких можна вважати, що r = R. Тоді Оскільки q = 4пR2σ , то за умови, що r = R.

Для точок, що значно віддалені від поверхні зарядженої сфери (точка В на малюнку 9), маємо:

За допомогою теореми Остроградського — Гаусса можна обчислити напруженість електричного поля довільних заряджених тіл. У таблиці 1 наведено формули для визначення напруженості електричного поля в деяких практично цікавих випадках.

Таблиця 1

Закінчення таблиці 1

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

1. Що називають потоком напруженості електричного поля? 2. У чому суть теореми Остроградського — Гаусса? 3. За якою формулою визначається напруженість рівномірно зарядженої нескінченної площини? 4. Чим відрізняються картини силових ліній полів між двома парами точкових зарядів q і -q та 2q і -q? Намалюйте їх.

Приклади розв'язування задач

Задача. На суцільній металевій сфері радіусом R = 20 см рівномірно розподілений заряд з поверхневою густиною Визначте напруженість електричного поля в точках: на відстані r1 = 16 см від центра сфери; на поверхні сфери та на відстані r2 = 36 см від центра сфери. Побудуйте графіки залежності Е = Е(r).

Мал. 10

Вправа 3

1. Металевій кулі, радіусом 24 см, надано заряд 6,26 нКл. Визначте напруженість електричного поля в центрі кулі, на відстані від центра, що дорівнює половині радіуса, і на відстані 24 см від поверхні кулі.

2. Побудуйте графіки залежності напруженості електричного поля від відстані E = f(r) для точкового заряду і для зарядженої провідної кулі радіусом R.

3. Чому дорівнює напруженістьполя в центрі рівномірно зарядженого дротяного кільця?

4. З якою силою електричне поле зарядженої нескінченної площини діє на одиницю довжини зарядженої нескінченно довгої нитки, що розташована в цьому полі? Лінійна густина заряду на нитці —а поверхнева густина заряду на площині —

5. Покажіть, що електричне поле, яке створене ниткою скінченної довжини, у граничних випадках переходить в електричне поле: а) нескінченно довгої зарядженої нитки; б) точкового заряду.

6. Визначте напруженість електричного поля в точці А, що розташована на відстані r = 5 см від зарядженого диска вздовж нормалі, установленої в його центрі. За якого граничного значення радіуса R диска поле в точці А не буде відрізнятись більше ніж на 2 % від поля нескінченної площини? Яка напруженість поля в точці А, якщо радіус диска дорівнює R = 10r? У скільки разів напруженість, обчислена в цьому випадку, відрізняється від напруженості поля нескінченної площини?

7. Мильна бульбашка, що висить на кінці тонкої трубочки, стягується під дією сил поверхневого натягу. Чи можна утримати бульбашку від повного стягування, якщо надати їй великого електричного заряду? Якщо так, то бульбашка якого діаметра залишиться? (До того ж потрібно враховувати, що в полі напруженістю настає пробій повітря.)