§ 5. Криволінійний рух. Рівномірний рух по колу

Мал. 30. Напрямок миттєвої швидкості тіла під час його криволінійного руху

Якщо розглядати рух за коротші інтервали часу, то можна дійти висновку, що миттєва швидкість тіла в точці траєкторії напрямлена по дотичній до дуги в даній точці.

У тому, що миттєва швидкість напрямлена по дотичній, можна переконатися, спостерігаючи, як відлітають частки багнюки від коліс автомобіля, що забуксував.

Миттєва швидкість тіла в різних точках криволінійної траєкторії має різний напрямок. За модулем ця швидкість може бути однаковою в усіх точках, а може й змінюватись. Навіть коли за модулем швидкість не змінюється, її не можна вважати сталою, адже швидкість — величина векторна. А для векторної величини модуль і напрямок однаково важливі. Тому криволінійний рух — це завжди рух із прискоренням. Якщо модуль швидкості не змінюється, прискорення криволінійного руху пов’язане зі зміною напрямку швидкості.

Зважаючи на те, що будь-яку криволінійну траєкторію можна розглядати як частину кола певного радіуса, цю особливість криволінійного руху можна використати для моделювання його траєкторії (мал. 31).

Мал. 31. Моделювання траєкторії криволінійного руху

Основні характеристики рівномірного руху по колу. Обертальний рух досить поширений у природі й техніці (мал. 32, с. 32) — це обертання коліс, маховиків, лопатей літальних апаратів, Землі навколо своєї осі та ін.

Мал. 32. Використання обертального руху в природі й техніці

Важливою особливістю обертального руху є те, що всі точки тіла рухаються з однаковим періодом, але їх швидкість може суттєво відрізнятися, бо всі вони рухаються по колах із різним радіусом. Наприклад, при добовому обертанні Землі навколо своєї осі точки, що розташовані на екваторі, рухаються найшвидше, тому що їх рух відбувається по найбільшому радіусу.

Зверніть увагу! Вивчення обертального руху тіла ми розпочнемо з розгляду руху окремих точок на його поверхні (обертальний рух тіла як цілого розглянемо в подальшому).

Розглянемо випадок рівномірного руху матеріальної точки по колу.

Рівномірний рух по колу — це рух зі сталою за модулем швидкістю і з прискоренням, зумовленим зміною напрямку швидкості. Цю швидкість прийнято називати лінійною швидкістю.

Нехай тіло рухається по колу радіусом r, і в деякий момент часу, який ми приймемо за початок відліку (t₀= 0), воно перебуває в точці А (мал. 33).

Мал. 33. До визначення напрямку прискорення в русі по колу

Для довільної криволінійної траєкторії в будь-якій її точці тіло рухається з прискоренням, напрямленим до центра того кола, частиною якого є ділянка, що містить цю точку.

Рівномірний рух по колу характеризується також специфічними кінематичними величинами: кутовим переміщенням, кутовою швидкістю, періодом і частотою.

Період обертання, Т — час одного повного оберту точки, що рухається по колу. Одиниця періоду — секунда (1 с).

Нехай тіло рівномірно рухається по колу радіусом r і за певний час t переміщується з точки А в точку В (мал. 34). Кут φ, який при цьому описує радіус, називається кутом повороту, або кутовим переміщенням.

Мал. 34. Кутове переміщення

Одиницею кутового переміщення є радіан (1 рад).

МАТЕМАТИЧНА ДОВІДКА

Кут 1 рад дорівнює центральному куту між двома радіусами, довжина дуги якого дорівнює радіусу.

Мал. 35. Визначення напрямку вектора кутової швидкості

Очевидним є зв’язок між лінійною та кутовою швидкостями: v = ωr.

Ураховуючи зв’язок лінійної та кутової швидкостей, доцентрове прискорення можна виразити і так: a_д = ω²r.

Зверніть увагу! Як видно з формул, доцентрове прискорення в одному випадку прямо пропорційно залежить від радіуса, а в іншому — обернено пропорційно. Цей парадоксальний, на перший погляд, висновок відображає той факт, що якщо в тіл, які рухаються по колу, однакові лінійні швидкості, то доцентрове прискорення є більшим у того з них, яке рухається по колу меншого радіуса; якщо однакові їх кутові швидкості, то доцентрове прискорення більше там, де більший радіус.

Головною особливістю рівномірного руху по колу є те, що відбуваються періодичні повторення положення тіла та відповідні періодичні зміни величин, що характеризують рух. З подібними періодичними змінами величин ми ще зустрінемось, вивчаючи коливання.

На особливу увагу заслуговує приклад криволінійного руху тіла, траєкторією якого є еліпс. Саме еліптичними є орбіти планет нашої Сонячної системи, і детальніше про особливості їх руху ми дізнаємось у § 44.

МАТЕМАТИЧНА ДОВІДКА

Еліпс — це замкнена крива, сума відстаней до кожної точки якої від фокусів F₁, і F₂ дорівнює його великій осі, тобто 2а, де а — велика піввісь еліпса (мал. 36).

Мал. 36. Еліпс

Якщо кінці нитки заданої довжини закріплені в точках F₁ і F₂, то крива, яка описується вістрям олівця, що ковзає по туго натягнутій нитці, має форму еліпса.

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

1. Чим відрізняються зміни швидкості прямолінійного і криволінійного рухів?
2. Чи можна вважати рівномірний рух по колу рівноприскореним?
3. Якщо в русі по колу змінюватиметься і модуль швидкості, як це впливатиме на прискорення?
4. Якими специфічними кінематичними величинами характеризується рух по колу?

Приклади розв’язування задач

Задача 1. Як відомо, період добового обертання Землі становить 24 год. З якою кутовою та лінійною швидкостями рухаються точки поверхні Землі, розташовані на екваторі? Радіус Землі 6400 км.